高中数学-三余弦定理(最小角定理)与三正弦定理

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三余弦定理和三正弦定理



1.三余弦定理（又叫最小角定理）

（1）设点A为平面上一点，过A点的斜线AO在平面上的射影为AB，AC为平面上的任意直线，那么∠OAC，∠BAC，∠OAB三角的余弦关系为：

cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB 即斜线与平面内一条直线夹角的余弦值=斜线与平面所成角1的余弦值射影与平面内直线夹角的余弦值。



（2）定理证明：





（3）说明：这三个角中，角是最大的，其余弦值最小，等于另外两个角的余弦值之积。斜线与平面所成角1是斜线与平面内所有直线所成的角中最小的角。

2.设二面角M－AB－N的度数为，在平面M上有一条射线AC，它和棱AB所成角为，和平面N所成的角为，则sin=sin·sin（如图）.



（1）定理证明：



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如果将三余弦定理和三正弦定理联合起来使用，用于解答立体几何综合题，你会发现出乎意料地简单，甚至不用作任何辅助线！

例1. (1994全国)如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，求面DBC1与面CBC1所成的二面角度数。







例2. (1986上海)已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3.点P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=7时，求二面角P－AC－B的大小。







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