数列前n项和的求和公式

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数列求和的根本方法和技巧

一、利用常用求和公式求和

利用以下常用求和公式求和是数列求和的最根本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：Sn

n(a1an)n(n1)

na1d 22

(q1)na1

n

2、等比数列求和公式：Sna1(1q)a1anq

(q1)

1q1q

n

112

3、 Snkn(n1) 4、Snkn(n1)(2n1)

26k1k1

n

[例1]log3x

123n

，求xxxx的前n项和. log23

*

[例2] 设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N,求f(n)

Sn

的最大值.

(n32)Sn1

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、

{bn}分别是等差数列和等比数列.

23n1

[例3]求和：Sn13x5x7x(2n1)x………………………①

[例4] 求数列

2462n

,2,3,,n,前n项的和. 2222

三、倒序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列〔反序〕，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1an).

[例5] 求sin1sin2sin3sin88sin89的值 四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n项和：11,

2

2



2



2



2



111

4,27,,n13n2，… aaa

[例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和. 五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项〔通项〕分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终到达求和的目的. 通项分解〔裂项〕如：

sin1

tan(n1)tann〔1〕anf(n1)f(n) 〔2〕

cosncos(n1)

. z.


-

(2n)2111111

1() 〔3〕an 〔4〕an

(2n1)(2n1)22n12n1n(n1)nn1

〔5〕an

1111

[]

n(n1)(n2)2n(n1)(n1)(n2)

n212(n1)n1111

nn,则S1 nn1nn

n(n1)2n(n1)2n2(n1)2(n1)2

(6) an

[例9] 求数列

112

,

123

,,

1nn1

,的前n项和.

[例10] 在数列{an}中，an

212n

，又bn，求数列{bn}的前n项的和. 

anan1n1n1n1

111cos1

[例11] 求证：

cos0cos1cos1cos2cos88cos89sin21

六、合并法求和

针对一些特殊的数列，将*些项合并在一起就具有*种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求Sn.

[例12] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+·+ cos178°+ cos179°的值. [例13] 数列{an}：a11,a23,a32,an2an1an，求S2002

[例14] 在各项均为正数的等比数列中，假设a5a69,求log3a1log3a2log3a10的值. 七、利用数列的通项求和

先根据数列的构造及特征进展分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项提醒的规律来求数列的前n项和，是一个重要的方法.

[例15] 求1111111111之和 

n个1



8

,求(n1)(anan1)的值. [例16] 数列{an}：an

(n1)(n3)n1

. z.

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