乘法公式

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乘法公式

A 内容提要

1． 乘法公式也叫做简乘公式，就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总

结，直接应用。

公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。

公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算――除法等。 2． 基本公式就是最常用、最基礎的公式，并且可以由此而推导出其他公式。

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完全平方公式：(a±b)=a±2ab+b, 平方差公式：（a+b）(a－b)=a2－b2

立方和（差）公式：(a±b)(a2ab+b2)=a3±b3 3.公式的推广：

① 多项式平方公式：(a+b+c+d)2=a2+b2+c2+d2+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd

即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。

② 二项式定理：(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3

(a±b)4=a4±4a3b+6a2b2±4ab3+b4）

（a±b）5=a5±5a4b+10a3b2 ±10a2b3＋5ab4±b5） „„„„

注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律 ③ 由平方差、立方和（差）公式引伸的公式

（a+b）(a3－a2b+ab2－b3)=a4－b4 (a+b)(a4－a3b+a2b2－ab3+b4)=a5+b5

(a+b)(a5－a4b+a3b2－a2b3+ab4－b5)=a6－b6 „„„„

注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律 在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数

－－－－－

(a+b)(a2n1－a2n2b+a2n3b2－„＋ab2n2－b2n1)=a2n－b2n

－－－

(a+b)(a2n－a2n1b+a2n2b2－„－ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1 类似地：

－－－－－

（a－b）(an1+an2b+an3b2+„＋abn2+bn1)=an－bn 4. 公式的变形及其逆运算

由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)2－2ab

由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)3－3ab(a+b)

由公式的推广③可知：当n为正整数时




an－bn能被a－b整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,

a2n－b2n能被a+b及a－b整除。



B 例题

例1. 己知x+y=a xy=b

求 ①x2+y2 ②x3+y3 ③x4+y4 ④x5+y5 解： ①x2+y2＝(x+y)2－2xy＝a2－2b

②x3+y3＝(x+y)3－3xy（x+y）＝a3－3ab

③x4+y4＝(x+y)4－4xy（x2+y2）－6x2y2＝a4－4a2b＋2b2 ④x5+y5＝（x+y）(x4－x3y+x2y2－xy3+y4) =(x+y)［x4+y4－xy(x2+y2)+x2y2］ =a［a4－4a2b+2b2－b(a2－2b)+b2］ ＝a5－5a3b+5ab2

例2. 求证：四个連续整数的积加上1的和，一定是整数的平方。 证明：设这四个数分别为a, a+1, a+2, a+3 (a为整数)

a(a+1)(a+2)(a+3)+1=a(a+3)(a+1)(a+2)+1=(a2+3a)(a2+3a+2)+1 =(a2+3a)2+2(a2+3a)+1=(a2+3a+1)2 ∵a是整数，整数的和、差、积、商也是整数 ∴a2+3a+1是整数 证毕 例3. 求证：2222＋3111能被7整除

证明：2222＋3111＝（22）111＋3111＝4111＋3111 根据 a2n+1+b2n+1能被a+b整除，（见内容提要4） ∴4111＋3111能被 4＋3整除 ∴2222＋3111能被7整除

例4. 由完全平方公式推导“个位数字为5的两位数的平方数”的计算规律 解：∵(10a+5)2=100a2+2×10a×5+25=100a(a+1)+25

∴“个位数字为5的两位数的平方数”的特点是：幂的末两位数字是底数个位数字5的平方，幂的百位以上的数字是底数十位上数字乘以比它大1的数的积。

如：152=225 幂的百位上的数字2=1×2)， 252=625 (6=2×3)，

352=1225 (12=3×4) 452=2025 (20=4×5) „„

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