2021年日本初中数学奥林匹克决赛试题

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2018 年日本初中数学奥林匹克

决赛

1. k 是大于等于 3 的整数，使用一个正 k 边形，A 和 B 两个人玩如下的游戏，重复 k 回：A 说一个大于等于 1 且小于等于 100 的整数，B 把该整数写在正 k 边形的某个尚未写上数字的顶点上如果正 k 边形上有写着相同数字的三个顶点，且这三个顶点构成等腰三角形，那么 B 获 胜，否则 A 获胜。此时，试求出所有的 k，使得不管 A 怎么做 B 都有办法获胜。





2. 有 5 个人，计算出每两个人的年龄差，发现是两两互异的正整数，试求岁数最大的和岁数最小的人的年龄差可能取到的最小值。



3. 设 △ABC 的外接圆为 ω, AB = AC, 过 B, C 两点的圆分别交边 AB, AC 于 D, E 两点, 直 线 DE 和 直 线 BC 交 于 点 F . 直 线 AF 交 ω 于 A, tt 两 点 . H 为 DE 上 一 点 , 射 线 AH 交 ω 于点 I. 试证：F, tt, H, I 四点共圆.







A

D

H

E

G



B



C F

I



4. k 是大于或等于 2 的整数，A = 2k

A

1。L 是小于或等于的正奇数，首先将其写在黑板 − 2

上，如下操作重复 k − 1 次：记前面刚写在黑板上的整数为 n，在黑板上写上能整除 A − n 的

最大正奇数。此时，试证：包括最初写在黑板上的 L，黑板上的 L 出现了至少两次。



5.

三角形 ABC 的内切圆为 ω, 边 BC CA AB 的中点分别记作 A′, B′, C′

。存在六个点B

a, Ca, Cb, Ab,

Ac, Bc，线段 BaCa, CbAb, AcBc 均是圆 ω 的直径，且分别平行于 BC, CA, AB，




直线 B′Ca 与直线 C′Ba 交于点 X, 直线 C′Ab 与直线 A′Cb 交于点 Y ，直线 A′Bc 与直线 B′Ac 交于点 Z，试证：直线 AX, BY, CZ 三线交于一点。

X

A

C′ Ab

A c B

′ Ba

Ca

B

Bc

Cb

A′



Y



（中山大学: 詹秋明汉化）

C

Z

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