两圆的公切线夹角的计算

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两圆的公切线夹角的计算公式

唐小平

(甘肃省武都县两水中学.746010)

通过两圆位置关系的学习我们知道：当两圆外离、外切、相交时有两条外公切线；当且仅当两圆外离时有两条内公切线.下面就分别讨论两圆公切线夹角的计算，推导出公式后以提高解相关的客观性命题的速度.

一、 两圆外公切线夹角的计算

我们不妨以两圆外离为例加以讨论.



如图所示，☉O1,☉O２的外公切线AB和CD相交于P（A、B、C、D 为切点），其半径分别为ｒ和R,圆心距O1O2 =ｄ．连结O1A、O2B, 则O1A⊥AB,O2B⊥AB.过O1作O1E⊥O2B，垂足为E,于是四边形O1EBA为矩形，所以O2E=O2B-EB=O2B-O1A=R-r,于是sin∠EO1O2=计算出

O2ERr

=.若dO1O2

Rr

是特殊角的正弦值，则可直接求出∠EO1O2，否则可通过查d

表或计算器求出∠EO1O2,然后得AB与CD的夹角BPD=2∠EO1O2.

对于两圆外切和相交的情况，其讨论办法和结论与两圆外离时相同，此处就不再罗嗦.

二、 两圆内公切线夹角的计算










如图所示，☉O1,☉O２ 的内公切线FG和XY相交于点M（F、G、X、Y为切点），其半径分别为r和R（ｒ＜Ｒ），圆心距O1O2=d.连结O1X,O2Y,过O1作O2Y延长线的垂线，垂足为Q，则易证∠O2YM=∠O2QO1= ∠O1XM =90º，且∠O2MY=∠O2O1Q=∠GMO2，O2Q=R＋r,于是sin∠O2O1Q=若计算出

Rrd

O1QRr

=.O1O2d

是特殊角的正弦值，则可直接求出∠O2O1Q,否则可通过

查表或用计算器求出∠O2O1Q,然后得到FG和XT的夹角∠GMY=2∠O2O1Q（或∠GMY=180º-2∠O2O1Q）.

综上所述，设两圆的半径分别为R和r，圆心距为d，外公切线夹角为α，内公切线夹角为β（β是其中一夹角，另一夹角可写成180º-β），则sin



2Rrd

，sin



2



Rr

.这就是两圆的公切线夹d

角的计算公式.

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