高中数学：三角函数题库

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三角函数题库

如图，在等腰直角三角形OPQ中，OPQ90o，OP22，点M在线段PQ上．

（1）若OM

3，求PM的长；

（2）若点N在线段MQ上，且MON30o，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小 值．



本小题主要考查解三角形、同角三角函数的基本关系、两角和与差的三角函数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．

解：（Ⅰ）在OMP中，OPM45，OM5，OP22，

由余弦定理得，OM2OP2MP22OPMPcos45， 得MP24MP30， 解得MP1或MP3．

（Ⅱ）设POM，060，

1

千里之行 始于足下


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OMOP

在OMP中，由正弦定理，得

sinOPM

sinOMP

， 所以OM

OPsin45

sin45，

同理ON

OPsin45

sin75



故S1

OMN

2

OMONsinMON 2

1OPsin2454



sin45sin75





1

sin45sin4530







1



sin453sin1

2452cos45





1

3

2sin2451

2

sin45cos45

1

3

41cos90214

sin902

1

3

434sin214

cos2

1

3

41

2

sin230千里之行 始于足下

2


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因为060，30230150，所以当30时，sin230的最大值为1，此时OMN的面积取到最小值．即2POM30时，OMN的面积的最小值为843．

已知函数f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋1

2cos 4x.

(1)求f(x)的最小正周期及最大值； (2)若α∈π2，π，且f(α)＝2

2，求α的值．解 (1)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋1

2cos 4x

＝cos 2x·sin 2x＋1

2

cos 4x

＝12

2(sin 4x＋cos 4x)＝2

sin4x＋π4 ∴f(x)的最小正周期T＝π2

2，最大值为2

.

(2)由f(α)＝

2

2

，得sin4α＋π4＝1. ∵α∈π2，π，则9π4<4α＋π4<17π

4 所以4α＋π4＝59

2π，故α＝16π.



千里之行 始于足下

3

本文来源：https://www.wddqxz.cn/41670aac53e79b89680203d8ce2f0066f5336417.html