高二数学奥赛试题

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夏津一中高二数学奥赛复试试题

时间：120分钟 满分：150分

一、填空题（本大题共10个小题，每小题6分，共60分） 1．函数y4cosxcos2xxR值域是 ．．

2

2．已知复数z满足z1，则zz1的最大值是 ．

A

NO

C

3．如图，在⊿ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线BAB、AC于不同的两点M,N，ABmAM,ACnAN，则mn的值是 ．

M

4．如果关于x的不等式xaxx1的解集是R，则实数a的取值范围是 ． 5．已知正数a,b,c满足4ababc，则abc的最小值是 ．

6． 已知对xR，logasinxcosx2恒成立，则实数a的取值范围是 ．．7．已知A

2

BCa,b,c,d,e,ABa,b,c，

cABC，则符合上述条件的A,B,C共有 组．

8．已知函数fx，对xR，有fx1006则f2013 ．

9．用五种不同颜色给三棱台ABCDEF六个顶点涂色， 要求每个点涂一种颜色，且每条棱的两个端点涂不同颜色， 则不同的涂色方法有 ．种．

12

fxf2x,f1005

A

3， 4

B

C

D

E

10．假设实数b,c满足b2c21，且fxaxbsinxccosx的图像上存在两条切线垂直，则实数a的取值范围是 ．．

F

二、解答题（本大题共5个小题，前两个小题各15分，后三个小题各20分，共90分）

z11．（本小题满分15分）如图所示，

D1

C1BCD 在长方体ABCDA中，1111已知AD1,AB2,AA1c，

A1

P

B1

D

·1·

CB

y

x

A


若对角线BD1上存在一点P使得PB1PC1， 求实数c的取值范围．

x2y2

12．（本小题满分15分）已知椭圆1的

43

内接平行四边形的一组对边分别过椭圆的焦点F1,F2， 求该平行四边形面积的最大值．

13．（本小题满分20分）已知数列an的前n项和Sn满足

F1B

y

A

GO

F2

x

Sn1annN*．

⑴ 试求数列an的通项公式； ⑵ 设cn

C

D

111

，求证：列cn的前n项和Pn2n． 1an1an15

,2011}, 若M满足：其任意三个元素a,b,c，均

14．（本小题满分20分）集合M{1,2,

满足abc，则称M具有性质P，为方便起见，简记MP．具有性质P的所含元素最多的集合称为最大集．试问具有性质P的最大集共有多少个？并给出证明．

15．（本小题满分20分）如图，在锐角△ABC中，AB，AD是边BC上的高，P是线段AD内一点。过P作PE⊥AC，垂足为E，做PF⊥AB，垂足为F。O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心。

·2·

A

E

FO1B

DP

O2

C

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