高数

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1习题110

1. 证明方程x53x1至少有一个根介于1和2之间. 证明 设f(x)x53x1, 则f(x)是闭区间[1, 2]上的连续函数.

因为f(1)3, f(2)25, f(1)f(2)<0, 所以由零点定理, 在(1, 2)内至少有一点(1<<2), 使f()0, 即x 是方程x53x1的介于1和2之间的根. 因此方程x53x1至少有一个根介于1和2之间.



2. 证明方程xasinxb, 其中a>0, b>0, 至少有一个正根, 并且它不超过ab. 证明 设f(x)asin xbx, 则f(x)是[0, ab]上的连续函数. f(0)b, f(ab)a sin (ab)b(ab)a[sin(ab)1]0.

若f(ab)0, 则说明xab就是方程xasinxb的一个不超过ab的根;

若f(ab)<0, 则f(0)f(ab)<0, 由零点定理, 至少存在一点(0, ab), 使f()0, 这说明x 也是方程x=asinxb的一个不超过ab的根.

总之, 方程xasinxb至少有一个正根, 并且它不超过ab.

3. 设函数f(x)对于闭区间[a, b]上的任意两点x、y, 恒有|f(x)f(y)|L|xy|, 其中L为正常数, 且f(a)f(b)0. 证明: 至少有一点(a, b), 使得f()0. 证明 设x0为(a, b)内任意一点. 因为 0lim|f(x)f(x0)|limL|xx0|0,

xx0

xx0

所以 lim|f(x)f(x0)|0,

xx0

即 limf(x)f(x0).

xx0

因此f(x)在(a, b)内连续.

同理可证f(x)在点a处左连续, 在点b处右连续, 所以f(x)在[a, b]上连续.

因为f(x)在[a, b]上连续, 且f(a)f(b)0, 由零点定理, 至少有一点(a, b), 使得f()0. 4. 若f(x)在[a, b]上连续, a<x1<x2<    <xn<b, 则在[x1, xn]上至少有一点 , 使 f()

f(x1)f(x2)    f(xn)

.

n

证明 显然f(x)在[x1, xn]上也连续. 设M和m分别是f(x)在[x1, xn]上的最大值和最小值. 因为xi[x1, xn](1 in), 所以有mf(xi)M, 从而有 nmf(x1)f(x2)    f(xn)nM,


f(x1)f(x2)    f(xn)

M.

n

由介值定理推论, 在[x1, xn]上至少有一点 使

f(x1)f(x2)    f(xn)

f().

n

m

5. 证明: 若f(x)在(, )内连续, 且limf(x)存在, 则f(x)必在(, )内有界.

x

证明 令limf(x)A, 则对于给定的0, 存在X0, 只要|x|X, 就有

x

|f(x)A| , 即Af(x)A .

又由于f(x)在闭区间[X, X]上连续, 根据有界性定理, 存在M0, 使|f(x)|M, x[X, X]. 取Nmax{M, |A|, |A|}, 则|f(x)|N, x(, ), 即f(x)在(, )内有界. 6. 在什么条件下, (a, b)内的连续函数f(x)为一致连续？

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