对数的概念及性质

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对数的概念及性质

一、对数的概念

1、对数的定义：一般地，如果 aa0,a1的b次幂等于N, 就是 aN，那么数 b叫做 以a为底 N

b

的对数，记作 logaNb，a叫做对数的底数，N叫做真数



例如：416  log4162 ; 10100log101002

2

2

42 log42

12

12

; 100.01log100.012 2

探究：⑴负数与零没有对数（∵在指数式中 N > 0 ）

⑵loga10，logaa1

0

∵对任意 a0且 a1, 都有 a1 ∴loga10

同样易知： logaa1 ⑶对数恒等式

如果把 aN 中的 b写成 logaN, 则有 a

b

logaN

N

⑷常用对数：我们通常将以10为底的对数叫做常用对数为了简便,N的常用对数log10N简记作lgN

例如：log105简记作lg5 ; log103.5简记作lg3.5.

⑸自然对数：在科学技术中常常使用以无理数e=2.71828……为底的对数，以e为底的对数叫自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作lnN 例如：loge3简记作ln3 ; loge10简记作ln10

（6）底数的取值范围(0,1)(1,)；真数的取值范围(0,)

2、例题讲解：

例1将下列指数式写成对数式： （1）5=625 （2）2=

4

6

11ma

（） （3）3=27 (4) =5.73

643



例2 将下列对数式写成指数式：

（1）log1164； （2）log2128=7； （3）lg0.01=-2； （4）ln10=2.303

2



例3计算： ⑴log927，⑵log4381，⑶log2323，⑷log34625

5



1




3、练习：

1.把下列指数式写成对数式

11

(1) 2＝８ （２）2＝32 （３）2＝（４）273

23

3

5

1

1

2.把下列对数式写成指数式

(1) log3９＝２ （２）log5１２５＝３ （３）log23.求下列各式的值

(1) log525 （２）log2

11

＝－２ （４）log3＝－４ 481

1

（３）lg100 16

(2) （４）lg0.01 （５）lg10000 （６）lg0.0001

二、对数的运算性质

1．对数的定义 logaNb 其中 a (0,1)(1,)与 N(0,)

2．指数式与对数式的互化



logaN

3.重要公式： ⑴负数与零没有对数； ⑵loga10，logaa1 ⑶对数恒等式a

N

amanamn(m,nR)

4．指数运算法则 (a)a

mn

mn

(m,nR)



(ab)nanbn(nR)

5、积、商、幂的对数运算法则：

如果 a > 0，a  1，M > 0， N > 0 有：

loga(MN)logaMlogaN(1)

MlogalogaMlogaN(2)

N

logaMnnlogaM(nR)(3)

6、对数换底公式：logab

logcb

． logca

11

；⑵loganblogab；⑶logablogbclogac．

nlogba

对数换底公式还有如下常用的推论：⑴logab

要特别注意：loga(MN)logaMlogaN ，loga(MN)logaMlogaN





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