椭圆的焦点弦长公式

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椭圆的焦点弦长公式

2ab2

F1F22

ac2cos2

及其应用

在有关椭圆的综合题中，常常遇到椭圆焦点弦的问题，如何解决这类问题呢？首先我们有命题：

若椭圆的焦点弦F1F2所在直线的倾斜角为，a、b、c分别表示椭圆的长半轴长、短半

2ab2

轴长和焦半距，则有F1F22。

ac2cos2

上面命题的证明很容易得出，在此笔者只谈谈该命题的应用。

例1、已知椭圆的长轴长AB8，焦距F1F242，过椭圆的焦点F1作一直线交椭圆于

P、Q两点，设PF1X(0)，当取什么值时，PQ等于椭圆的短轴长？ 分析：由题意可知PQ是椭圆的焦点弦，且a4，c22，从而b22，故由焦

24(22)22ab2

42，点弦长公式F1F22及题设可得：解得cos22，222

168cosaccos

即arccos22或arccos22。

例2、在直角坐标系中，已知椭圆E的一个焦点为F（3，1），相应于F的准线为Y轴，直线l通过点F，且倾斜角为程。

(xc3)2(y1)21，又椭圆E相应于F的准线为Y分析：由题意可设椭圆E的方程为22

aba2

c3 （1）轴，故有， 又由焦点弦长公式有c

16

，又直线l被椭圆E截得的线段的长度为，求椭圆E的方

53

2ab2

a2c2cos2



3



16

（2）又 a2b2c2 5

（3）。解由（1）、（2）、（3）联列的方程组得：a24，b23，c1，从而所求椭圆E的方

(x4)2(y1)2

1。 程为

43


x2y2xy

例3、已知椭圆C：221（ab0），直线l1：1被椭圆C截得的弦长为22，

abab

过椭圆右焦点且斜率为3的直线l2被椭圆C截得的弦长是它的长轴长的程。

2

，求椭圆C的方5

分析：由题意可知直线l1过椭圆C的长、短轴的两个端点，故有a2b28， （1）

2ab24a

3又由焦点弦长公式得2=， （2） 因=，得，（3） tan

53ac2cos2

又 a2b2c2 （4）。解由（1）、（2）、（3）、（4）联列的方程组得：a26，b22，

x2y2

1。 从而所求椭圆E的方程为62

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