抛物线的几个常见结论及其用

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抛物线的几个常见结论及其应用

抛物线中有一些常见、常用的结论，了解这些结论后在做选择题、填空题时可迅速解答相关问题，在做解答题时也可迅速打开思路。

结论一：若AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦（过焦点的弦），

p2

且A(x1,y1)，B(x2,y2)，则：x1x2，y1y2p2。

4

例：已知直线AB是过抛物线y22px(p0)焦点F， 求证：

11AFBF

为定值。

结论二：（1）若AB是抛物线y22px(p0)的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则

AB

2P

sin2

（α≠0）。（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的

弦）最短。

例：已知过抛物线y29x的焦点的弦AB长为12，则直线AB

2

倾斜角为 。AB倾斜角为或。

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3

结论三：两个相切：（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线， 以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

例：已知AB是抛物线y22px(p0)的过焦点F的弦，求证：（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

M

(2)分别过A、B做准线的垂线， 垂足为M、N，求证：以MN为直径的圆 与直线AB相切。

P O N

B Q

F

x

y

A






结论四：若抛物线方程为y22px(p0)，过（2p，0）的直线与之交于A、B两点，则OA⊥OB。反之也成立。

结论五：对于抛物线x22py(p0)，其参数方程为

2pt)，O为抛物线的顶点，显然kOP标为(2pt，

2

x2pt，

2

y2pt，

设抛物线x22py上动点P坐

2pt2

t，即t的几何意义为过抛物线顶2pt

点O的动弦OP的斜率．

例 直线y2x与抛物线y22px(p0)相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OA垂直，且线段AB长为513，求P的值．

解析：设点A，B分别为(2pt2A，

2ptA)，(2pt2B，2ptB)， 则t1A1k12

，tBkkOA2．

OA

OB

A，B的坐标分别为

p2

2，p，(8p，4p)．∴AB

8pp2



(p4p)25213p513．∴p2． 练习：

1.过抛物线yax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于P，Q两点， 若线段PF与FQ的长分别是p，q，则1

1= 故11pqpq

4a】 2.设抛物线y22px(p0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线 于A，B两点．点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴． 证明直线AC经过原点O．

【证明：抛物线焦点为Fp2

，

0

．设直线AB的方程为xmyp

2

， 代入抛物线方程，得y22pmyp20．若设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则y2p

1y2p2． ∵BC∥x轴，且点C在准线kCOy； 1

又由y2y12p

12px1，得kAO

x

y， 故kCOkAO，即直线AC经过原点O．】

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OB和

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