初三数学培优竞赛精讲精练-第19讲 圆中比例线段

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第19讲 圆中比例线段



知识纵横

角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。 相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。 1、相交弦定理

如图①，若圆内两条弦AB、CD交于点P，则PAPBPCPD。 2、切割线定理

如图②，若从圆外一点P引圆的切线TP，和割线PAB，则PT2PAPB。 3、割线定理

如图③，若从圆外一点P引圆的两条割线PAB、PCD，则PAPBPCPD。

A

T

C

D

O

P

B

P

A

O

B

C

P

A

O

B

D

例题求解

【例1】如图，已知AB是o的直径，弦CD与AB交于点E，过点A作圆的切线与CD的延长线交于点F，若DE

3

CE，AC85,D点为EF的中点，则AB_______. 4

(2011年全国初中数学联赛题)

思路点拨 设法求出AE，BE的长，可考虑应用相交弦定理、勾股定理等。



【例2】如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于点E，且与CD相切，若AB4,BE5,则DE的长为（ ）。

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A.3 B.4 C.

1516 D. 45

（全国初中数学联赛题）

思路点拨 连AC、CE,由条件可得许多等线段，为切割线定理的运用创造条件。

【例3】如图，已知o是ABC的外接圆，BC是o的直径，D是劣弧AC的中点，BD交AC于点E。

（1）求证：ADDEDB;

2

（2）若BC

55

,CD,求DE的长。 22

（泸州市中考题）

思路点拨 对于（1），只需证明ADE ∽ BDA。



图，已知AC为o的直径且PAAC，BC是o的【例4】如一条弦，

直线PB交直线AC于点D，

DBDC2

. DPDO3

（1）求证：直线PB是o的切线； （2）求cosBCA的值。

（2011年呼和浩特市中考题）

思路点拨 对于（1），恰当连线，为已知条件的运用创设条件；对于（2）将问题转化求线段的比值。





【例5】如图，BC是半圆O的直径，D是弧AC中点，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E。

（1）求证：ACBC2BDCD；

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（2）若AE3,CD25,求弦AB和直径BC的长。 （天津市竞赛题）

分析 由条件ABDDBC,BDC90,延长BA、CD交于一点，向形外作辅助线，为构造相似三角形、切割线定理的运用创造条件。

寻找不变性

【例6】如图，AB是半圆O的直径，AB2,射线AM、BN为半圆O的切线。在AM上取一点D，连接BD交半圆于点C，连接AC。过O点作BC的垂线OE，垂足为点E，与BN相交于点F,过D点作半圆O的切线DP，切点为P，与BN相交于点Q。 （1）求证：ABC ∽ OFB；

（2）求证：当D在AM上移动时（A点除外），点Q始终是线段BF的中点。

（2011年潍坊市中考题）

思路点拨 对于（2），即要证明BQFQ对相似三角形是证题的关键。

1

BF,不妨从比例线段入手，能发现图中多2

学力训练

基础夯实

1、如图，已知A、B、C、D是o上的四个点，ACAB,AD交BC于点E，

AE3,DE4,则AB的长为____________. (2011年黑龙江省中考题)



2、如图，PAB、PCD为o的两条割线，若PA5,AB7,CD11,则

AC:BD____________.

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3、如图，AB、CD是o的两条线，它们相交于点P，连接AD、BD，已知

ADBD4,PC6,那么CD的长是___________.



4、如图，在ABC中，C90,AB10,AC6,以AC为直径作圆与斜边交于点P,则BP的长为（ ）。

A.6.4 B.3.2 C.3.6 D.8

5、如图，已知AB为o的直径，CB切o于B，CD切o于D，交BA的延长线于E。若AB3,ED2,则BC的长为（ ）。 A.2 B.3 C.3.5 D.4



6、如图，o与RtABC的斜边AB切于点D，与直角边AC交于点E，且DE//BC。已知AE22,AC32,BC6,则o的半径是（ ）。 A.3 B.4 C.43 D.23

7、如图，在锐角ABC中，AC是最短边，以AC中点O为

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圆心，AC长为半径作o，交BC于E，过O作OD//BC交o于D点，连接AE、AD、

1

2

DC。

（1）求证：D是弧AE的中点；

（2）求证：DAOBBAD； （3）若

SCEF1

，且AC4,求CF的长。 SOCD2

（2012年桂林市中考题）



8、如图，在圆内接四边形ABCD中，CD为BCA的外角的平分线，F为弧AD上一点，

BCAF,延长DF与BA的延长线交于E。

（1）求证：ABD为等腰三角形； （2）求证：ACAFDFEF.

(2011年黄冈市中考题)



9、如图，已知AC是o的直径，PAPC,连接OP，

弦CB//OP，直线PB交直线AC于D,BD2PA.. （1）求证：直线PB是o的切线；

（2）探究线段PO与BC之间的数量关系，并加以证明； （3）求sinOPA的值。

（襄阳市中考题）



能力拓展

10、如图，已知ABC中，C90,AC11,BC5,以C为圆心，BC为半径作圆交

BA的延长线于点D，则AD的长为___________.

（太原市竞赛题）

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11、如图，AB为圆的直径，若ABAC5,BD4,则

AE

___________. BE

（第19届江苏省竞赛题）



12、如图，P是半圆O的直径BC延长线上一点，PA切半圆于点A，AHBC于H，若PA1,PBPCa(a2)，则

PH__________. 21aaA. B. C. D. aa23



13、如图，ABC是o的内接正三角形，弦EF经过BC的点D，且EF//AB，若AB2,则DE的长（ ）

中

5113A. B. C. D.1

222



14、如图，已知AB为o的直径，C为o上一点，延长BC至D，使CDBC，

CEAD于E，BE交o于F，AF交CE于P，求证：PEPC.

（太原市竞赛题）



15、如图，已知ABC中，以AC边为直径的o交BC于点D，在劣弧AD上取一点E使EBCDEC，延长BE依次交

AC于G，交o于H。 （1）求证：ACBH；

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（2）若ABC45,o的直径等于10，求CE的长。

（2011宜宾市中考题）





16、如图，PA、PB是o的两条切线，PEC是一条割线，D是AB与PC的交点，若

PE2,CD1,求DE的长。





综合创新

17、如图，圆中的三条线PP1、QQ1、RR1两两相交，交点分别为A、B、C，已知

APBQCR,AR1BP1CQ1，求证：ABC是等边三角形。

（北京市竞赛题）





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18、 已知：如图，以矩形ABCD的对角线AC的中点O为圆心，OA长为半径作o，o经过B、D两点，过点B作BKAC，垂足为K。过D作DH//KB，DH分别与AC、AB、o及CB的延长线相交于点E、F、G、H．

(1)求证：AECK； (2)如果ABa，AD

1

a (a为大于零的常数)，求BK的长： 3

(3)若F是EG的中点，且DE6，求o的半径和GH的长．

（2011成都市中考题）





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