余弦定理的证明

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②钝角证明

①锐角证明



已知：△ABC ∠A＜π／2

求证：BC²=AB²+AC²－2·AB·AC·cosA 证明：过B作BD⊥AC垂足为D

在Rt△ABD中 AD=AB·cosA ∴BD²=AB²－AD²

=AB²－﹙AB·cosA﹚²

在Rt△BCD中

DC ²=﹙AC－AB·cosA﹚² ∵BC ²=BD ²＋DC ²

∴BC ²=AB²－﹙AB·cosA﹚²＋﹙AC－AB·cosA﹚²∴BC²=AB²+AC²－2·AB·AC·cosA



已知：△GEF π／2＜∠β＜π

求证：GF²=GE²+EF²－2·GE·EF·cosβ 证明：过D作GH⊥EF交EF延长线于H

∴∠β＋∠α=180° 在Rt△GHE中 HE=GE·cosα HG²= GE²－HE²

=GE²－﹙GE·cosα﹚² 在Rt△GHF中

HF=HE+EF=EF+GE·cosα GF²=HG²+HF²

=GE²－﹙GE·cosα﹚²＋﹙EF+GE·cosα﹚² ∴GF²=GE²+EF²+2·GE·EF·cosα 又∠β＋∠α=180° ∴cosβ=﹣cosα

∴GF²=GE²+EF²－2·GE·EF·cosβ

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