2019年山东省菏泽市中考数学试题(解析版)

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2019 年广东省菏泽市中考数学试卷

一．选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置 1．（3 分）下列各数中，最大的数是（

）

D．﹣2

A．﹣ B． C．0

2．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C．

D． 3． （3 分）下列运算正确的是（

B．a2•a3＝a6

） C．a8÷a2＝a4

D．3a2﹣2a2＝a2

）

A．（﹣a3）2＝﹣a6

4．（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（





A．5cm2 5．（3 分）已知A．﹣1



B．8cm2 是方程组B．1

C．9cm2 D．10cm2

的解，则 a+b 的值是（ ）

C．﹣5

D．5

6．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点，且 BC 平分∠ABD，AD 分别与 BC，OC 相交于点 E，F，则下列结论不一定成立的是（ ）





A．OC∥BD



B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD

7．（3 分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 A1，第二次移动到点 A2…… 第 n 次移动到点 An，则点 A2019 的坐标是（ ）








A．（1010，0）



B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）

8．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按 A→D→C，A→ B→C 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点 C 运动终止，连接 PQ，设运动时间为 xs，△APQ 的面积为 ycm2， 则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是（ ）





A．





B．

C． D．

二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.） 9．（3 分）计算（）﹣1﹣（﹣3）2 的结果是 10．（3 分）已知 x＝



．

．

．

+

，那么 x2﹣2

x 的值是

11．（3 分）如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1 的度数是



12．（3 分）一组数据 4，5，6，x 的众数与中位数相等，则这组数据的方差是



．

13．（3 分）如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形 BEDF 的周长是

．




14．（3 分）如图，直线 y＝﹣x﹣3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 P 是 x 轴上一动点，以点 P 为圆心，以 1 个单位长度为半径作⊙P，当⊙P 与直线 AB 相切时，点 P 的坐标是



．

三、解答题（本题共 78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）



15．（6 分）解不等式组：



16．（6 分）先化简，再求值：（﹣1）÷ ，其中 x＝y+2019．

17．（6 分）如图，四边形 ABCD 是矩形．



（）1



用尺规作线段 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F（不写作法，保留作图痕迹）； 若 BC＝4，∠BAC＝30°，求 BE 的长．

（）2



18．（6 分）列方程（组）解应用题：



德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计 2019 年 8 月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高 80%，那么行驶 81 千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短 36 分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．

19．（7 分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5 月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 A 处时，测得小岛 B 位于它的北偏东 30°方向，且与航母相距 80 海里再航行一段时间后到达 C 处，测得小岛 B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离 BC 的长．





20．（7 分）如图，▱ABCD 中，顶点 A 的坐标是（0，2），AD∥x 轴，BC 交 y 轴于点 E，顶点 C 的纵坐标是﹣4，▱ABCD 的面积是 24．反比例函数 y＝的图象经过点 B 和 D，求：

（1） 反比例函数的表达式；




（2） AB 所在直线的函数表达式．





21．（10 分）4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”我市某中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社发起了“读书感悟•分享”比赛活动根据参赛学生的成绩划分为 A，B，C，D 四个等级，并绘制了下面不完整的统计图表，根据图表中提供的信息解答下列问题；





频数

A B C D



频率



4

a 16

0.3 b







（1） 求 a，b 的值；

（2） 求 B 等级对应扇形圆心角的度数；



（3） 学校要从 A 等级的学生中随机选取 2 人参加市级比赛，求 A 等级中的学生小明被选中参加市级比赛的概率．

22．（10 分）如图，BC 是⊙O 的直径，CE 是⊙O 的弦，过点 E 作⊙O 的切线，交 CB 的延长线于点 G，过点 B 作 BF⊥ GE 于点 F，交 CE 的延长线于点 A．

（1） 求证：∠ABG＝2∠C； （2） 若 GF＝3

，GB＝6，求⊙O 的半径．

23．（10 分）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．








（1） 如图 1，连接 BE，CD，BE 的廷长线交 AC 于点 F，交 CD 于点 P，求证：BP⊥CD；



（2） 如图 2，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转，当点 D 落在 AB 上时，连接 BE，CD，CD 的延长线交 BE 于点 P，若 BC

＝6，AD＝3，求△PDE 的面积．

24．（10 分）如图，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，﹣2），点 A 的坐标是（2，0），P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，交直线 BC 于点 E，抛物线的对称轴是直线 x＝﹣1．



（1） 求抛物线的函数表达式； （2） 若点 P 在第二象限内，且 PE＝

OD，求△PBE 的面积．

（3） 在（2）的条件下，若 M 为直线 BC 上一点，在 x 轴的上方，是否存在点 M，使△BDM 是以 BD 为腰的等腰三

角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．




2019 年广东省菏泽市中考数学试

卷

参考答案与试题解析

一．选择题（本大题共 8 个小题，每小题 3 分，共 24 分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确选项的序号涂在答题卡的相应位置 1．（3 分）下列各数中，最大的数是（ ） A．﹣ B． C．0 【分析】比较确定出最大的数即可． 【解答】解：﹣2＜﹣＜0＜， 则最大的数是， 故选：B．



D．﹣2

【点评】此题考查了有理数大小比较，熟练掌握运算法则是解本题的关键．



2．（3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行解答．

【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；



B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误； 故选：C．

【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合， 中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 3．（3 分）下列运算正确的是（ ） A．（﹣a3）2＝﹣a6 B．a2•a3＝a6



C．a8÷a2＝a4 D．3a2﹣2a2＝a2

【分析】各项计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式＝a6，不符合题意； B、原式＝a5，不符合题意； C、原式＝a6，不符合题意； D、原式＝a2，符合题意，




故选：D．




【点评】此题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，以及幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

4．（3 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的表面积是（



）

A．5cm2



B．8cm2 C．9cm2 D．10cm2

【分析】由题意推知几何体长方体，长、宽、高分别为 1cm、1cm、2cm，可求其表面积． 【解答】解：由题意推知几何体是长方体，长、宽、高分别 1cm、1cm、2cm， 所以其面积为：2×（1×1+1×2+1×2）＝10（cm2）． 故选：D．



【点评】本题考查三视图、圆柱的表面积，考查简单几何体的三视图的运用．培养同学们的空间想象能力和基本的运算能力． 5．（3 分）已知A．﹣1



是方程组B．1

的解，则 a+b 的值是（

C．﹣5

） D．5

【分析】根据二元一次方程组的解法即可求出答案．



【解答】解：将 可得：

，

代入 ，

两式相加：a+b＝﹣1，



故选：A．



【点评】本题考查二元一次方程组的解，解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法，本题属于基础题型．



6．（3 分）如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上的两点，且 BC 平分∠ABD，AD 分别与 BC，OC 相交于点 E，F，则下列结论不一定成立的是（

）





A．OC∥BD



B．AD⊥OC C．△CEF≌△BED D．AF＝FD

【分析】由圆周角定理和角平分线得出∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，由等腰三角形的性质得出∠OCB＝∠OBC， 得出∠DBC＝∠OCB，证出 OC∥BD，选项 A 成立；




由平行线的性质得出 AD⊥OC，选项 B 成立； 由垂径定理得出 AF＝FD，选项 D 成立；

△CEF 和△BED 中，没有相等的边，△CEF 与△BED 不全等，选项 C 不成立，即可得出答案．



【解答】解：∵AB 是⊙O 的直径，BC 平分∠ABD，



∴∠ADB＝90°，∠OBC＝∠DBC，



∴AD⊥BD，



∵OB＝OC，



∴∠OCB＝∠OBC，



∴∠DBC＝∠OCB，



∴OC∥BD，选项 A 成立；



∴AD⊥OC，选项 B 成立；



∴AF＝FD，选项 D 成立；



∵△CEF 和△BED 中，没有相等的边，



∴△CEF 与△BED 不全等，选项 C 不成立； 故选：C．

【点评】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．

7．（3 分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到的指令是：从原点 O 出发，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不断移动，每次移动 1 个单位长度，其移动路线如图所示，第一次移动到点 A1，第二次移动到点 A2…… 第 n 次移动到点 An，则点 A2019 的坐标是（ ）



A．（1010，0）



B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1）

【分析】根据图象可得移动 4 次图象完成一个循环，从而可得出点 A2019 的坐标．

【解答】解：A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…， 2019÷4＝504…3，



所以 A2019 的坐标为（504×2+1，0），则 A2019 的坐标是（1009，0）． 故选：C．



【点评】本题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，难度一般．



8．（3 分）如图，正方形 ABCD 的边长为 2cm，动点 P，Q 同时从点 A 出发，在正方形的边上，分别按 A→D→C，A→




B→C 的方向，都以 1cm/s 的速度运动，到达点 C 运动终止，连接 PQ，设运动时间为 xs，△APQ 的面积为 ycm2， 则下列图象中能大致表示 y 与 x 的函数关系的是（



）



A．

B．

C．



D．

【分析】根据题意结合图形，分情况讨论：

①0≤x≤2 时，根据 S△APQ＝ AQ•AP，列出函数关系式，从而得到函数图象；



②2≤x≤4 时，根据 S△APQ＝S 正方形 ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D 列出函数关系式，从而得到函数图象， 再结合四个选项即可得解． 【解答】解：①当 0≤x≤2 时，



∵正方形的边长为 2cm， ∴y＝S△APQ＝ AQ•AP＝ x2； ②当 2≤x≤4 时，



y＝S△APQ

＝S 正方形 ABCD﹣S△CP′Q′﹣S△ABQ′﹣S△AP′D，

＝2×2﹣（4﹣x）2﹣×2×（x﹣2）﹣×2×（x﹣2） ＝﹣x2+2x

所以，y 与 x 之间的函数关系可以用两段二次函数图象表示，纵观各选项，只有 A 选项图象符合． 故选：A．



【点评】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意，分别求出两个时间段的函数关系式是解题的关键． 二、填空题（本大题共 6 个小题，每小题 3 分，共 18 分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内.）




9．（3 分）计算（ ）﹣1﹣（﹣3）2 的结果是 ﹣7 ．



【分析】直接利用负指数幂的性质化简得出答案．



【解答】解：原式＝2﹣9＝﹣7． 故答案为：﹣7．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．



10．（3 分）已知 x＝



+

，那么 x2﹣2

x 的值是 4 ．

【分析】根据二次根式的运算以及完全平方公式即可求出答案．



【解答】解：∵x﹣∴x2﹣2∴x2﹣2

x+2＝6， x＝4，

＝，

故答案为：4

【点评】本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算以及完全平方公式，本题属于基础题型． 11．（3 分）如图，AD∥CE，∠ABC＝100°，则∠2﹣∠1 的度数是 80° ．





【分析】直接作出 BF∥AD，再利用平行线的性质分析得出答案．



【解答】解：作 BF∥AD，



∵AD∥CE，



∴AD∥BF∥EC，



∴∠1＝∠3，∠4+∠2＝180°，∠3+∠4＝100°，



∴∠1+∠4＝100°，∠2+∠4＝180°，



∴∠2﹣∠1＝80°． 故答案为：

80°．



【点评】此题主要考查了平行线的性质，正确得出∠1+∠4＝100°，∠2+∠4＝180°是解题关键．



12．（3 分）一组数据 4，5，6，x 的众数与中位数相等，则这组数据的方差是 ．



【分析】分别假设众数为 4，5，6，分类讨论，找到符合题意的 x 的值，再根据方差的定义求解可得．



【解答】解：若众数为 4，则数据为 4，4，5，6，此时中位数为 4.5，不符合题意；




若众数为 5，则数据为 4，5，5，6，中位数为 5，符合题意， 此时平均数为

＝5，方差为[（4﹣5）2+（5﹣5）2+（5﹣5）2+（6﹣5）2]＝；

若众数为 6，则数据为 4，5，6，6，中位数为 5.5，不符合题意； 故答案为．

【点评】本题主要考查众数、中位数及方差，根据众数的可能情况分类讨论求解是解题的关键．



13．（3 分）如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 AC 上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形 BEDF 的周长是



8



．



【分析】连接 BD 交 AC 于点 O，则可证得 OE＝OF，OD＝OB，可证四边形 BEDF 为平行四边形，且 BD⊥EF，可证得四边形 BEDF 为菱形；根据勾股定理计算 DE 的长，可得结论． 【解答】解：如图，连接 BD 交 AC 于点 O，



∵四边形 ABCD 为正方形，



∴BD⊥AC，OD＝OB＝OA＝OC，



∵AE＝CF＝2，



∴OA﹣AE＝OC﹣CF，即 OE＝OF，



∴四边形 BEDF 为平行四边形，且 BD⊥EF，



∴四边形 BEDF 为菱形，



∴DE＝DF＝BE＝BF， ∵AC＝BD＝8，OE＝OF＝ 由勾股定理得：DE＝

＝2， ＝

＝8

＝2，

，

∴四边形 BEDF 的周长＝4DE＝4×

故答案为：8．

【点评】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定和性质及勾股定理，掌握对角线互相垂直平分的四边形为菱形是




解题的关键．




14．（3 分）如图，直线 y＝﹣x﹣3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，点 P 是 x 轴上一动点，以点 P 为圆心，以 1 个单位长度为半径作⊙P，当⊙P 与直线 AB 相切时，点 P 的坐标是 （﹣ ，0） ．





【分析】根据函数解析式求得 A（﹣4，0），B（0．﹣3），得到 OA＝4，OB＝3，根据勾股定理得到 AB＝5，设⊙P



与直线 AB 相切于 D，连接 PD，则 PD⊥AB，PD＝1，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：∵直线 y＝﹣x﹣3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B， ∴令 x＝0，得 y＝﹣3，令 y＝0，得 x＝﹣4，



∴A（﹣4，0），B（0．﹣3），



∴OA＝4，OB＝3，



∴AB＝5，



设⊙P 与直线 AB 相切于 D， 连接 PD，

则 PD⊥AB，PD＝1，



∵∠ADP＝∠AOB＝90°，∠PAD＝∠BAO，



∴△APD∽△ABO， ∴

＝

， ，

∴＝

∴AP＝ ， ∴OP＝ ， ∴P（﹣，0）， 故答案为：（﹣，0）．



【点评】本题考查了切线的判定和性质，一次函数图形上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，正确的理解题




意是解题的关键．

三、解答题（本题共 78 分，把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）



15．（6 分）解不等式组：

【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．

【解答】解：解不等式 x﹣3（x﹣2）≥﹣4，得：x≤5， 解不等式 x﹣1＜

，得：x＜4，

则不等式组的解集为 x＜4．

【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 16．（6 分）先化简，再求值：

（

﹣1）÷

，其中 x＝y+2019．

【分析】根据分式的减法和乘除法可以化简题目中的式子，然后将 x＝y+2019 代入化简后的式子即可解答本题．



【解答】解：（﹣1）÷

＝



＝﹣（2y﹣x﹣y）



＝x﹣y，



∵x＝y+2019，



∴原式＝y+2019﹣y＝2019．



【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．



17．（6 分）如图，四边形 ABCD 是矩形．



（）1



用尺规作线段 AC 的垂直平分线，交 AB 于点 E，交 CD 于点 F（不写作法，保留作图痕迹）； 若 BC＝4，∠BAC＝30°，求 BE 的长．

（）2



【分析】（1）根据线段的垂直平分线的作图解答即可；



（2）利用含 30°的直角三角形的性质解答即可．








【解答】解：（1）如图所示：



（2）∵四边形 ABCD 是矩形，EF 是线段 AC 的垂直平分线，



∴AE＝EC，∠CAB＝∠ACE＝30°，



∴∠ECB＝60°，



∴∠ECB＝30°，



∵BC＝4， ∴BE＝

．

【点评】此题考查基本作图问题，关键是根据线段的垂直平分线的作图和性质解答．



18．（6 分）列方程（组）解应用题：



德上高速公路巨野至单县段正在加速建设，预计 2019 年 8 月竣工．届时，如果汽车行驶高速公路上的平均速度比在普通公路上的平均速度提高 80%，那么行驶 81 千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短 36 分钟，求该汽车在高速公路上的平均速度．

【分析】设汽车行驶在普通公路上的平均速度是 x 千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是 1.8x 千米/分钟，根据“行驶 81 千米的高速公路比行驶同等长度的普通公路所用时间将会缩短 36 分钟”列出方程并解答． 【解答】解：设汽车行驶在普通公路上的平均速度是 x 千米/分钟，则汽车行驶在高速公路上的平均速度是 1.8x 千米



/分钟， 由题意，得

+36＝

． 解得 x＝1．

经检验，x＝1 是所列方程的根，且符合题意． 所以 1.8x＝1.8（千米/分钟）．

答：汽车行驶在高速公路上的平均速度是 1.8x 千米/分钟．



【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．



19．（7 分）由我国完全自主设计、自主建造的首艘国产航母于 2018 年 5 月成功完成第一次海上试验任务．如图，航母由西向东航行，到达 A 处时，测得小岛 B 位于它的北偏东 30°方向，且与航母相距 80 海里再航行一段时间后到达 C 处，测得小岛 B 位于它的西北方向，求此时航母与小岛的距离 BC 的长．








【分析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，根据题意得到∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80，解直角三角形即可得到结论．

【解答】解：过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，



由题意，得：∠BAD＝60°，∠BCD＝45°，AC＝80， 在 Rt△ADB 中，∠BAD＝60°， ∴tan60°＝ ∴AD＝

，

＝ ，

在 Rt△BCD 中，∠BCD＝45°， ∴tan45°＝ ∴BD＝CD， ∴AC＝AD+CD＝ ∴BD＝120﹣40

+BD＝80， ，

﹣40

，

）海里．

＝1，

∴BC＝ BC＝120

答：BC 的距离是（120



﹣40

【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

20．（7 分）如图，▱ABCD 中，顶点 A 的坐标是（0，2），AD∥x 轴，BC 交 y 轴于点 E，顶点 C 的纵坐标是﹣4，▱ABCD 的面积是 24．反比例函数 y＝的图象经过点 B 和 D，求：

（1） 反比例函数的表达式；



（2） AB 所在直线的函数表达式．










【分析】（1）根据题意得出 AE＝6，结合平行四边形的面积得出 AD＝BC＝4，继而知点 D 坐标，从而得出反比例函数解析式；

（2）先根据反比例函数解析式求出点 B 的坐标，再利用待定系数法求解可得．



【解答】解：（1）∵顶点 A 的坐标是（0，2），顶点 C 的纵坐标是﹣4，



∴AE＝6，



又▱ABCD 的面积是 24，



∴AD＝BC＝4， 则 D（4，2） ∴k＝4×2＝8，

∴反比例函数解析式为 y＝；



（2）由题意知 B 的纵坐标为﹣4，



∴其横坐标为﹣2， 则 B（﹣2，﹣4），

设 AB 所在直线解析式为 y＝kx+b， 将 A（0，2）、B（﹣2，﹣4）代入，得：解得：



，

，

所以 AB 所在直线解析式为 y＝3x+2．



【点评】本题主要考查待定系数法求反比例函数解析式，解题的关键是掌握平行四边形的面积公式及待定系数法求反比例函数和一次函数解析式的能力．

21．（10 分）4 月 23 日是世界读书日，习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”我市某中学响应号召，鼓励师生利用课余时间广泛阅读，该校文学社发起了“读书感悟•分享”比赛活动根据参赛学生的成绩划分为 A，B，C，D 四个等级，并绘制了下面不完整的统计图表，根据图表中提供的信息解答下列问题；



频数

A B



频率



4






C D

a 16

0.3 b

（1） 求 a，b 的值；



（2） 求 B 等级对应扇形圆心角的度数；



（3） 学校要从 A 等级的学生中随机选取 2 人参加市级比赛，求 A 等级中的学生小明被选中参加市级比赛的概率．

【分析】（1）根据 A 等级有 4 人，所占的百分比是 10%即可求得总人数，然后求得 a 和 b 的值；



（2） 首先计算出 B 等级频数，再利用 360°乘以对应的百分比即可求得 B 等级所对应的圆心角度数；



（3） 利用列举法求得选中 A 等级的小明的概率．



【解答】解：（1）总人数：4÷10%＝40，



a＝40×0.3＝12， b＝

＝0.4；

（2）B 的频数：40﹣4﹣12﹣16＝8， B 等级对应扇形圆心角的度数：

×360°＝72°；



（3）用 a 表示小明，用 b、c、d 表示另外三名同学． 则选中小明的概率是：

＝．



【点评】本题主要考查了频数分布表、扇形统计图以及树状图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

22．（10 分）如图，BC 是⊙O 的直径，CE 是⊙O 的弦，过点 E 作⊙O 的切线，交 CB 的延长线于点 G，过点 B 作 BF⊥ GE 于点 F，交 CE 的延长线于点 A．

（1） 求证：∠ABG＝2∠C； （2） 若 GF＝3

，GB＝6，求⊙O 的半径．




【分析】（1）连接 OE，根据切线的性质得到 OE⊥EG，推出 OE∥AB，得到∠A＝∠OEC，根据等腰三角形的性质得到∠OEC＝∠C，求得∠A＝∠C，根据三角形的外角的性质即可得到结论； （2）根据勾股定理得到 BF＝【解答】（1）证明：连接 OE，



＝3，根据相似三角形的性质即可得到结论．

∵EG 是⊙O 的切线，



∴OE⊥EG，



∵BF⊥GE，



∴OE∥AB，



∴∠A＝∠OEC，



∵OE＝OC，



∴∠OEC＝∠C，



∴∠A＝∠C，



∵∠ABG＝∠A+∠C，



∴∠ABG＝2∠C；



（2）解：∵BF⊥GE，



∴∠BFG＝90°， ∵GF＝3 ∴BF＝ ∵BF∥OE，



，GB＝6，

＝3，

∴△BGF∽△OGE， ∴∴

＝＝

， ，

∴OE＝6，



∴⊙O 的半径为 6．

【点评】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．

23．（10 分）如图，△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．








（1） 如图 1，连接 BE，CD，BE 的廷长线交 AC 于点 F，交 CD 于点 P，求证：BP⊥CD；



（2） 如图 2，把△ADE 绕点 A 顺时针旋转，当点 D 落在 AB 上时，连接 BE，CD，CD 的延长线交 BE 于点 P，若 BC

＝6，AD＝3，求△PDE 的面积．

【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到 AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF，求得∠BAE＝∠ DAC，根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，根据余角的性质即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，求得∠EPD＝90°，得到 DE＝3＝6﹣3＝3，CD＝ 可得到结论．

【解答】解：（1）∵△ABC 和△ADE 是有公共顶点的等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°．



，AB＝6，求得 BD

＝3 ，根据相似三角形的性质得到 PD＝，PB＝根据三角形的面积公式即

∴AD＝AE，AB＝AC，∠BAC﹣∠EAF＝∠EAD﹣∠EAF， 即∠BAE＝∠DAC，



在△ABE 与△ADC 中， ，



∴△ABE≌△ADC（SAS），



∴∠ABE＝∠ACD，



∵∠ABE+∠AFB＝∠ABE+∠CFP＝90°，



∴∠CPF＝90°，



∴BP⊥CD；



（2）在△ABE 与△ACD 中，

，



∴△ABE≌△ACD（SAS），



∴∠ABE＝∠ACD，BE＝CD，



∵∠PDB＝∠ADC，



∴∠BPD＝∠CAB＝90°，



∴∠EPD＝90°， ∵BC＝6 ∴DE＝3

，AD＝3， ，AB＝6，

＝3

，

∴BD＝6﹣3＝3，CD＝




∵△BDP∽△CDA，




∴∴

＝ ＝ ， ＝

＝

，

∴PD＝ ，PB＝ ﹣

＝

， ×

＝

．



∴PE＝3

∴△PDE 的面积＝×

【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质．熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

24．（10 分）如图，抛物线与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C（0，﹣2），点 A 的坐标是（2，0），P 为抛物线上的一个动点，过点 P 作 PD⊥x 轴于点 D，交直线 BC 于点 E，抛物线的对称轴是直线 x＝﹣1．



（1） 求抛物线的函数表达式； （2） 若点 P 在第二象限内，且 PE＝

OD，求△PBE 的面积．

（3） 在（2）的条件下，若 M 为直线 BC 上一点，在 x 轴的上方，是否存在点 M，使△BDM 是以 BD 为腰的等腰三

角形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．

【分析】（1）点 A（2，0）、点 B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8），即可求解； （2）PE＝OD，则 PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），求得：点 D（﹣5，0），利用 S△PBE＝PE×BD＝ （x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x），即可求解； （3）BD＝1＝BM，则 yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1×

＝﹣

，即可求解．

【解答】解：（1）点 A 的坐标是（2，0），抛物线的对称轴是直线 x＝﹣1，则点 B（﹣4，0），则函数的表达式为：y＝a（x﹣2）（x+4）＝a（x2+2x﹣8）， 即：﹣8a＝﹣2，解得：a＝， 故抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣2；

（2） 将点 B、C 的坐标代入一次函数表达式：y＝mx+n 并解得：



直线 BC 的表达式为：y＝﹣ x﹣2，则 tan∠ABC＝ ，则 sin∠ABC＝ ，




设点 D（x，0），则点 P（x， x2+ x﹣2），点 E（x， x﹣2），



∵PE＝ OD，

∴PE＝（x2+x﹣2﹣x+2）＝（﹣x），解得：x＝0 或﹣5（舍去 x＝0）， 即点 D（﹣5，0）

S△PBE＝×PE×BD＝（x2+x﹣2﹣x+2）（﹣4﹣x）＝；

（3） 由题意得：△BDM 是以 BD 为腰的等腰三角形，只存在：BD＝BM 的情况，



BD＝1＝BM，

则 yM＝﹣BMsin∠ABC＝﹣1×则 xM＝﹣故点 M（﹣

， ，﹣

）．

＝﹣

，

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．

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