三角形内外角平分线定理

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三角形内角与外交平分线定理

一、内角平分线定理

已知：如图所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC;

思路1：过C作角平分线AD的平行线。

证明1：过C作CE∥DA与BA的延长线交于E。 则： BA/AE=BD/DC; ∵ ∠BAD=∠AEC；（两线平行，同位角相等） ∠CAD=∠ACE；（两线平行，内错角相等） ∠BAD=∠CAD；（已知） ∴ ∠AEC=∠ACE；（等量代换） ∴ AE=AC；

∴ BA/AC=BD/DC 。

结论1：该证法具有普遍的意义。

引出三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比。 在ABC中，若AD为BAC的

ABBD

平分线，则：

ACCD



思路2：利用面积法来证明。

已知：如图8-4乙所示，AD是△ABC的内角∠BAC的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC

证明2：过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F； ∵ ∠BAD=∠CAD；（已知） ∴ DE=DF；

∵ BA/AC=S△BAD/S△DAC； （等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=S△BAD/S△ABCDAC；（同高时，三角形面积之比等于底之比） ∴ BA/AC=BD/DC

结论2：遇到角平分线，首先要想到往角的两边作平行线，构造等腰三角形或菱形，其次要想到往角的两边作垂线，构造翻转的直角三角形全等，第三，要想到长截短补法。

二、外角平分线定理

已知：如图所示，AD是△ABC中∠BAC的外角∠CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC

思路1：作角平分线AD的平行线。

证明1：过C作CE∥DA与BA交于E。则： BA/AE=BD/DC ∵ ∠DAF=∠CEA；（两线平行，同位角相等） ∠DAC=∠ECA；（两线平行，内错角相等） ∠DAF=∠DAC；（已知） ∴ ∠CEA=∠ECA；（等量代换） ∴ AE=AC；

∴ BA/AC=BD/DC 。

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结论1：该证法具有普遍的意义。

引出三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，那么这两条线

段和相邻的两边应成比例

在ABC中，AD为A的外角CAE

ABBD

则：的平分线，ACCD

思路2：利用面积法来证明。 已知：如图8-5乙所示，AD是△ABC内角∠BAC的外角∠CAF的平分线。 求证： BA/AC=BD/DC.

证明2：过D作DE⊥AC于E，DF∥⊥BA的延长线于F； ∵ ∠DAC=∠DAF；（已知） ∴ DE=DF；

∵ BA/AC=S△BAD/△DAC；（等高时，三角形面积之比等于底之比） BD/DC=S△BAD/△DAC ；（同高时，三角形面积之比等于底之比） ∴ BA/AC=BD/DC

结论2：使用面积法时，要善于从不同的角度去看三角形的底和高。在该证法中，我们看△BAD和△DAC的面积时，先以BA和AC作底，而以DF、DE为等高。然后以BD和DC为底，而高是同高



2.在ABC中，AD是ABC的平分线，

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AB-AC=5, BD-CD=3, DC=8，则AB=_______3

3.RtABC中,B90,AB12,BC5,DEAC于E,

5 D在AB边上,且AD1,则DE____________

AC33



3．如图，在△ABC中，AD是角BAC的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.

35



9



图3.1-8

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