超难奥数题之组合专题：超难组合数学(二)

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组合专题：超难组合数学㈡





1．在参观团的任意四个人中，有一个人认识其他三个人。证明：在任何四个团员中，总可

以找到一个人，他认识所有的团员。

2．某个团体有n个成员(n≥5)，并且有n＋1个三人委员会，其中没有两个委员会有完全相同的成员。证明：有两个委员会恰好有一个成员相同。

3．有一个十人的会，在他们当中任何三人至少有两人互不相识。证明在这会中有四人，他

们没一人认识四人中的其他人。

4．大厅中聚会了100个客人，他们中每个都与其余客人中至少67人相识。证明：这些客人中一定可以找到4个客人，他们中任何两人都彼此相识。



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测 试 题

四个人的聚会，每人各带了2件礼品，分赠给其余三个人中的二人，请你证明，至少有两对人，每对人是互赠过礼品的。

答案与解析

【分析】将四个人看为4个点ABCD

如果某个人赠送另一个礼品，则在这两个点之间了连一条边 (如果互增礼品，则在这两点之间连两条边) 每个人赠送两件礼品 故总边数为4×2＝8

若四个人两两之间至多连一条边，至多连(4×3)÷2＝6 又因为两个点之间至多连两条边

所以必定又两组点之间连8－6＝2条边 所以命题成立





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