首届全国中学生数理化学科能力竞赛(高二年级数学竞赛试题)

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首届全国中学生数理化学科能力竞赛

高二数学学科能力解题技能初赛试题



试卷说明：1、本试卷共计15题,满分为120分

2、考试时间为120分钟





总分



一、选择题〔每小题5分,共30分〕



本题得分 评卷人

1．已知AxNx2,BxxA,CxxB,则集合C的元素个数为〔 〕

〔A〕28 〔B〕4 〔C〕8〔D〕16 2．曲线ysin(



x

3

1)3cos(

x

3

1)的对称轴之间距离的最小值为〔 〕

13

ABCA,则△ABP44

〔A〕1 〔B〕2〔C〕3 〔D〕4

3．设点P为△ABC的边BC上的一点,且满足AP与△APC的面积之比为〔 〕

<A> 1:3<B> 3:1 <C> 1:4<D> 4:1

4．如果关于x的方程4a2a30至少有一个实根,则实数a的取值范围是〔 〕

〔A〕[2,2]〔B〕(3,2]〔C〕(3,2]〔D〕[3,2]

x

x

2

x2y40

22

5．设实数x,y满足条件22xy0,则f(x,y)xy2x2y的最

3xy30

大值为〔 〕

〔A〕23 〔B〕25 〔C〕23 〔D〕5

6．已知f(x)对于任意的x、yR,有f(x)f(y)f(xy)3x3y6,则f(2008)〔 〕 〔A〕2008〔B〕2009 2010〔D〕2011

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本题得分 评卷人


二、填空题〔每小题5分,共30分〕



7．已知a,b均为质数,且满足ab13,则ab．

8．已知△ABC的三边长分别为13,14,15. 有4个半径同为r的圆O、O1、O2、O3放在 △ABC内,并且圆O1与边AB、AC相切,圆O2与边BA、BC相切,圆O3与边CB、CA相切,圆O与圆O1、O2、O3相切,则r.

2

a

b

2

(1)n1

9．若不等式(1)a2对任意正整数n恒成立,则实数a的取值范围是.

n

n

10．函数f(x)在R是减函数,且不等式f(a2b)f(2ab)f(a)f(b)恒成立,则a与

b的大小关系是.

11．已知函数f(x)同时满足以下三个条件： 〔1〕存在反函数f

1

(x)；

〔2〕点(1,1)在函数f(x)的图象上； 〔3〕函数f(x1)的反函数为f

1

(x1)．

则



1

的前n项和Tn=．

f(n)f(n1)



1



1



 12．若x表示不超过x的最大整数〔如1.31,23等〕,则

4212

11



323434三、解答题

13．〔本小题满分20分〕

1

＝____________________． 200920082009

本题得分 评卷人

在数列an中,已知a11,an12ann1． 〔Ⅰ〕求数列an的通项公式；

2

〔Ⅱ〕设bnnann,且bn的前项n和为Sn,求证：Sn12Sn6．



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14．〔本小题满分20分〕

已知x,y,z是一个三角形的三个内角,求三元方程2cosx2cosy2cosz3的所有解. 15．〔本小题满分20分〕

有一个mnp的长方体盒子,另有一个(m2)(n2)(p2) 的长方体盒子, 其中m,n,p均为正整数<mnp>,并且前者的容积 是后者一半,求p的最大值．

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