数学空间向量公式大全

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空间向量知识点



空间向量的有关概念和公式

概念 空间向量与平面向量的概念与性质相似，只是由二维平面拓展到三维空间

如果一个向量所在直线垂直于一个平面，则该向量是这个平面的一个法向量。

坐标表示

OAa(x1,y1,z1)，OBb(x2,y2,z2), AB(x2x1,y2y1,z2z1)．ABBA

运算

则ab(x1x2,y1y2,z1z2)，ab(x1x2,y1y2,z1z2)，

a(x1,y1,z1)(R)，ab|a||b|cosa,bx1x2y1y2z1z2，

定比分点公式

设点P分有向线段所成的比为λ，即PP1＝λPP2，

x1x2yy2zz2

，y1，z1（R且1）

111

xx2yy2zz2

中点公式：x1，y1，z1

222xx2x3yy2y3zz2z3

三角形重心公式：x1，y1，z1

333x

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则AB(x2x1,y2y1,z2z1) |AB|=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

模

a=(x,y,z) ；|a|=x2y2z2 ；|a|2=a ; |a|=a

平行

2

a//ba1b1,a2b2,a3b3(R)，

（或

x1y1z1

==） x2y2z2

垂直 夹角

（a0,b0） abx1x1y2y2z3z30．cos

=

x1x1y2y2z3z3ab

=

222222

|a||b|x1y1z1x2y2z2

●建立空间直角坐标系常用方法：1、底面是正方形，常以底面两条邻

边为x轴，y轴；2、底面是菱形，常以底面两条对角线为x轴，y轴；3、底面是等腰三角形，常以底边及底边上的高为x轴，y轴；4、底面为平行四边形，常以一条边为x轴，并作一条与这一条边垂直的直线作为y轴。





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空间向量的应用（1）

方法分类

1、求平面的法向量

若AB(x1,y1,z1)，AC(x2,y2,z2)，ACABA，



图形



AB,AC,设n(x,y,z)是平面的法向量，

xxyy1zz10nAB0则 1

nAC0xx2yy2zz20

（取xx0，得到其中的一组解：n(x0,y0,z0) 而x0,y0,z0常取简单整数） 2、证明线面平行

设n是平面的法向量，AB，则：











AB||ABn0

3、证明面面垂直

设n1,n2分别是平面,的法向量, 则：



n1n20

4、求两条异面直线间的距离

先求两条异面直线的一个公共法向量，再求两条异面直线上





b是异面直两点的连结线段在公共法向量上的射影长设a、



线，n是a、b的公共法向量，点Ea,Fb，则异面直

EFn

线a、b之间的距离d

n

5、求点到平面的距离

设P为平面外一点，点A为平面内的任一点，平面



的法向量为n，过点P作平面的垂线PO，记OPA，则点P到平面的距离：



nPAnPA

dPOPAcosPA

nnPA

nPA

因此，点P到平面的距离： d

n



空间向量的应用（2）

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