西安交大少年班选拔考试试题

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西安交大少年班选拔考试试题

满分：100分 时量：90分钟 姓名_________ 得分_________ 一、选择题（每小题2分，共30分）

1、如果xy1，那么代数式

y1y

的值是 （ ） x1x

（A） 0 （B） 正数 （C）负数 （D）非负数

11xy

2、已知： 4=9=6， 则等于 ( )

xy（A）2 （B）1 （C）3、若不等式组

31

（D） 22

x4mx10

的解集是x4，则 （ ）

x1m99

（A）m （B）m5 （C）m （D）m5

2212a

4、已知a2b0，则的值为 （ ）

bab

（A）-1 （B）1 （C）2 （D）不能确定

5、如图，四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，

∠ABC=60°，AD=4，CD=10，则BD的长等于 （ ） （A）413 （B）83 （C）12 （D）103

6、已知三角形的三条边长分别8x、x2、84，其中x是正整数，这样的互不全等的三角形共有（ ）个.

A．5 B．6 C．7 D．8



7、一个样本为1，3，2，2，a，b，c。已知这个样本的众数为3，平均数为2，那么这个样本

的方差为 （ ）

84

A.8 B.4 C. D.

77

12

8、若实数a，b满足aabb20，则a的取值范围是 （ ）．

2

（A）a≤2 （B）a≥4 （C）a≤2或 a≥4 （D）2≤a≤4

a,ab

9、运算符号的含义是ab，则方程(1x)(12x)5的所有根之和为 （ ）

b,ab

A．2

B．0

2

C．2 D．4

10、若关于x的方程x2ax7a100没有实根，那么，必有实根的方程是 （ ）．

A、x22ax3a20； B、x22ax5a60； C、x22ax10a210； D、x22ax2a30．


11、正方形ABCD中，E,F分别是AB,BC上的点，DE交AC于M，AF交BD于N ；若AF平分

BAC，DEAF；记x

BEBNCF

,y,z,则有 （ ）.

ADOMONBF

M

A、xyz； B、xyz；

C、xyz； D、xyz．

E

N

O

B



F

C

12、某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示．公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在 ( )

A区

100米

B区

200米

C区

区 (D)A、B两区之间 (A)A区 (B)B区 (C)C

13、若实数a,b,c满足等式2a3|b|6，4a9|b|6c，则c可能取的最大值为 （ ） A．0. B．1. C．2. D．3.

14、在△ABC中，最大角∠A是最小角∠C的两倍，且AB＝7，AC＝8，则BC＝ （ ） A.72. B. 10. C.

105. D. 73.

15、设正方形ABCD的中心为点O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为 （ ） A.

3314. B. . C. . D. 14727

二、填空题（每小题2分，共30分）

x3y319,2216、已知实数x,y满足方程组则xy .

xy1,

17、已知a＝5－1，则2a3＋7a2－2a－12 的值等于 ．

18、一辆客车、一辆货车和一辆小轿车在一条笔直的公路上朝同一方向匀速行驶．在某一时刻，客车在前，小轿车在后，货车在客车与小轿车的正中间．过了10分钟，小轿车追上了货车；又过了5分钟，小轿车追上了客车；再过t分钟，货车追上了客车，则t＝ ．

19、如图，在平面直角坐标系xOy中，多边形OABCDE的顶点坐标分别是O（0，0），A（0，6），B（4，

6），C（4，4），D（6，4），E（6，0）．若直线l经过 点M（2，3），且将多边形OABCDE分割成面积相等的两 部分，则直线l的函数表达式是 ．



（第19题


20、二次函数yxbxc的图象与x轴正方向交于A，B两点，与y轴正方向交于点C．已知

2

AB3AC，CAO30，则c ．

21、设a，b是方程x68x10的两个根，c，d是方程x86x10的两个根，

则(a+ c)( b + c)( a − d)( b − d)的值 。

22、有人问一位老师所教班级有多少人，老师说：“一半学生在学数学，四分之一学生在学音乐，七分之一的学生在读外语，还剩不足六位同学在操场踢足球”，则这个班有_______名学生。 23、如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BCD= 90°， CD

AB=BC=10，点M在BC上，使得ΔADM是正三角形， 则ΔABM与ΔDCM的面积和是 。

MB

2

2



A

m第十题图24、销售某种商品，如果单价上涨％，则售出的数量就将减少，为了使该商品的销售总150

金额最大，那么m的值应该确定为 。

2

25、已知t是实数，若a,b是关于x的一元二次方程x2xt10的两个非负实根，则(a1)(b1)

2

2

的最小值是____________.

22

26、如果实数a,b满足条件ab1，|12ab|2a1ba，则aAb______.

2

2

27、如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F是三边中点， 在图中可以数出的三角形中，任选一对三角形（不计顺序）， 如果这2个三角形至少有一条边相等，便称之为一对“友好 三角形”，那么，图中的“友好三角形”共有_______对 28、跳格游戏：如图20-18所示，人从格外只能进入 第1格；在格中每次可向前跳1格或者2格，那么 人从格外跳到第6格可以有_______种方法。

F

O

B

D

E

C

123456



29、如图，射线AM，BN都垂直于线段AB，点E为AM上一点，过点 A作BE的垂线AC分别交BE，BN于点F，C，过点C作AM的垂线 CD，垂足为D．若CD＝CF，则

AE

 ． AD



3 ）a0x3a1x2a2xa3,这是关于x的一个恒等式(即对于任意x都成立30、设(2x1)。则a1a3的

值是






三、解答题：（每小题10分，共40分）

1、如图，一次函数y3x3的函数图象与x轴、y轴分别交于点A、B，以线段AB为直角边在第

一象限内作Rt△ABC，且使∠ABC=30°。） （1）求△ABC的面积；

（2）如果在第二象限内有一点P（m，

3），试用含m的代数式表示△APB的面积，并求当△APB2

与△ABC面积相等时m的值；

（3）是否存在使△QAB是等腰三角形并且在

坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标； 若不存在，请说明理由。





2、如图，在△ABC中，点D是边AB延长线上的一点，点F是边AC上的一点，DF交BC于点E，并已知BDCF,DEEF,∠A =58°，求∠C的值.






3、如图，ΔABC 中∠ACB =90°，点D在CA上，使得CD=1, AD=3，并且∠BDC=3∠BAC，求BC的长。

B

A

C

DE

第二大题图



4、已知二次函数yxbxc的图象经过两点P(1,a)，Q(2,10a). （1）如果a,b,c都是整数，且cb8a，求a,b,c的值.

（2）设二次函数yxbxc的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C.如果关于x的方程

22

x2bxc0的两个根都是整数，求△ABC的面积.

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