π=4证明的荒谬性

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π=4悖论引发的

关于无穷小和极限的一些思考

问题：（转载自人人网）

如何证明Pi=4：

画个圆，直径d=1，然后画个框住它的正方形，周长为4，在正方形四个角去四块，周长还是4，然后这么一直去下去，周长一直为4不变，直到这个正方形无限接近于圆，所以Pi=4？

显然，我们都坚信上述π=4的结论是个谬论，但却很难说清到底问题出在了哪里。

相似的问题如下：




C

C

DEDF

GD'

C'H

E

IE'

B

A

C'

B

A



如图，线段AB为单位线段，△ABC为直角三角形，AC⊥BC。取AC、BC、AB中点D、E、C’，连接DC’、EC’构成新折线ADC’EB；然后继续取各边中点、连线，将大三角形分成更多的全等的小三角形，构成新的折边更多的折线。一直这么分下去，当小三角形个数为无穷多时，折线无限接近于线段AB。而折线的长度永远等于AC＋BC的长度，于是得出结论：线段AB长度等于折线长度，亦即AC＋BC的长度？

产生类似谬论的原因，在于对无穷小和极限概念理解不准确。在解决上述问题之前，我们可以先看一下艾萨克·牛顿在《自然哲学之数学原理》一书中对极限理论的应用（虽然当时极限理论刚刚建立起来，还很不完善，但是正因为此，极限思想更为朴素，对解决类似几何问题有很大助益）。

《自然哲学之数学原理》第一篇·第一章·引理8 命题：如果直线AR，BR与弧ACB，弦AB以及切线AD组成任意三角形RAB，RACB，RAD，而且点A与B相互趋近并重合，则这些趋于零的三角形的最后形式是相似（全等——引用者注）三角形，它们的最终比值相等。

A

Cc

B

D

d

R

b

r

证明：当点B趋近于点A时，设想AB，AD，AR延伸至远点b，d和r，作rbd平

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