正弦定理公式及练习题

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1.1.1正弦定理 一、引入

我们知道，在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系，我们是否能得到这个边、角关系准确量化的表示呢？这就是我们今天要学习的内容：正弦定理，故此，正弦定理是刻画任意三角形中各个角与其对边之间的关系。 二、新授


1.1.1正弦定理

1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

abc

2R（注：为△ABC外接圆半径） sinAsinBsinC

2、正弦定理常见变形：

（1）边化角公式：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC

abc，sinB，sinC 2R2R2R

（3）a:b:csinA:sinB:sinC

abcabc

（4）2R

sinAsinBsinCsinAsinBsinCabacbc(5) ，，

sinAsinBsinAsinCsinBsinC

（2）角化边公式：sinA

（6）asinBbsinA,asinCcsinA,bsinCcsinB 3、三角形中的隐含条件：

（1）在△ABC中，abc,abc(两边之和大于第三边，两边只差小于第三边) （2）在△ABC中，ABsinAsinB；ABcosAcosB；abAB （3）在△ABC中，ABCsin(AB)sinC，cos(AB)cosC,

sin

ABC

cos 22

考试·题型与方法

题型一：解三角形 例1：（1）在△ABC中，已知A=45°，B=30°，c=10，解三角形；

（2）在△ABC中，B=30°，C=45°，c=1,求b的值及三角形外接圆的半径。

变式训练：在△ABC中，已知下列条件，解三角形： （1）a10，b20，A60； （2）b10，c56，C60；

（3）a

2，b3，A45；

例2：下列条件判断三角形解得情况，正确的是（ ） A.a8,b16,A30有两解 B. b18,c20,B60有一解 C. a15,b2,A90无解

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