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全国中考数学压轴题精选 （九）
81. （08广东茂名25题）（本题满分10分）
2 2
如图，在平面直角坐标系中，抛物线y = — x +bx + c经
3
过 A （0, — 4）、B （ X 1 , 0）、C （ X 2 , 0）三点，且 x 2 -x 1=5.
（1） 求b、c的值；（4分）
（2） 在抛物线上求一点 D ,使得四边形BDCE是以BC为对 角线的菱形；（3分）
（3） 在抛物线上是否存在一点 P,使得四边形 BPOH是以 OB为对角线的菱形？若存在， 求出点P的坐标，并判断这个菱 形是否为正方形？若不存在，请说明理由. （3分）
解：
（08广东茂名25题解析）解：（1）解法一：
+ b
x+c经
•••抛物线y=— x
2
又由题意可知，x 1 .c = — 4 ....... 1 分
3
+ b x + c=0的两个根,
2
x 2是方程一-x
3
3
x 1 x 2 = — c =6
2
由已知得（x 2 -x 1 ） 又(x 2-x 1 ) =( .9 b 2 — 24=25
2
2
=25
2
X2 = 9b2 — 24
x 2 + x 1 ) — 4x 1 4
4
14
解得b=±
3
当b = 14时， 抛物线与x轴的交点在x轴的正半轴上，不合题意，舍去.
14 3
.b =—匕.
3
3
、 2 9
解法二：••• x 1、x 2是方程— x + b x+c=0的两个根,
即方程2x 2 — 3b x+12=0的两个根.
3
3b 八 9b 2 — 96
9b2 -96
••• x 2 — x 1
4
=5,
解得b = ±14
3
(以下与解法一相同.)
(2)T四边形BDCE是以BC为对角线的菱形，根据菱形的性质，点
D必在抛物线的
对称轴上， ............................................................... •分
p 2 3
2
14 3 7
2 / 3
25
( x+
7、2 25 2
) +
又••• y =— x — x — 4= —
6
八
............................... 6 分
•抛物线的顶点(一
2 6
)即为所求的点 D . ................................................... 7分
(3)•••四边形BPOH是以0B为对角线的菱形，点 B的坐标为(一6, 0),
根据菱形的性质，点 P必是直线x=-3与
2
2 14 3
2
14 3
抛物线y= -------- x - — x -4的交点， ......................................... •分
t
3
亠
2
..当 x = — 3 时，y = — _ X( — 3) 一 X (— 3) — 4=4,
3
•在抛物线上存在一点 P (— 3, 4)，使得四边形BPOH为菱形. ................. •分
只能是(一3, 3),但这一点不在抛物线上.
四边形BPOH不能成为正方形，因为如果四边形
10分
BPOH为正方形，点 P的坐标
82. (08广东肇庆25题)(本小题满分10分)
已知点 A (a, y1 )、B (2a, y2)、C (3a, y3)都在抛物线 y = 5x2+12x 上. (1)求抛物线与x轴的交点坐标； (2 )当a=1时，求△ ABC的面积；
(3)是否存在含有y1、y2、y3，且与a无关的等式？如果存在，试给出一个，并加以 证明；如果不存在，说明理由
•
(08广东肇庆25题解析)( 本小题满分10分) 12
5
本文来源：https://www.wddqxz.cn/8af3dff7c2c708a1284ac850ad02de80d4d806e4.html
2022-04-29
