垂线及其性质

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第2课时垂线及其性质

1 •理解并掌握垂线的概念及性质，了解点到直线的距离; 2 •能够运用垂线的概念及性质进行运算并解决实际问题.

、情境导入

（重点、难点）

如图是教室的一幅图片，黑板相邻两边的夹角等于多少度？这样的两条边所在的直线有什么位置关 系？

、合作探究

探究点一：垂线的概念

【类型一】 运用垂线的概念求角度

如图，直线 BC与MN相交于点 O, AO丄BC,/ BOE=Z NOE，若/ EON= 20°,求/ AOM和

/ NOC的度数.

M

A

解析：要求/ AOM的度数，可先求它的余角•由已知 / BON.再根据对顶角相等即可求得；要求

/ EON = 20 °，结合/ BOE = / NOE,即可求得

/ NOC的度数，根据邻补角的定义即可.

解：V/ BOE = / NOE , •••/ BON = 2/ EON = 2 X 20°= 40°, /•/ NOC = 180°-/ BON= 180 ° - 40 =140°，/ MOC = / BON = 40° .••• AO丄BC，• / AOC = 90°, •/ AOM = / AOC-/ MOC = 90°- 40 =50° •/ NOC = 140°,/ AOM = 50° .

方法总结：（1）由两条直线互相垂直可以得出这两条直线相交所成的四个角中，每一个角都等于 ⑵在相交线中求角度，一般要利用垂直、对顶角相等、余角、补角等知识.

【类型二】 运用垂线的概念判定两直线垂直

如图所示，已知OA丄OC于点O, / AOB = / COD，试判断OB和OD的位置关系,

并说明理由.

90 ° ;

解析：由于 OA丄OC,根据垂直的定义，可知 / AOC = 90°,即/ AOB + / BOC = 90° / COD，,又 / AOB = 则/ COD + / BOC = 90°,即/ BOD = 90°,再根据垂直的定义，得出 OB丄OD.

解：OB丄OD，理由如下：因为 OA丄OC，所以/ AOC = 90°，即/ AOB + /BOC = 90° •因为/ AOB =/ COD，所以/ COD + / BOC = 90°，所以/ BOD = 90 °，所以 OB 丄 OD.

方法总结：由垂直这一条件可得两条直线相交构成的四个角为直角，反过来，由两条直线相交构成的 角为直角，可得这两条直线互相垂直. 判断两条直线垂直最基本的方法就是说明这两条直线的夹角等于 90° .

探究点二：垂线的画法

如图，平面上有三点



A、B、C.

（1） 画直线AB,画射线BC （不写作法，下同）;

（2） 过点A画直线BC的垂线，垂足为 G;过点A画直线AB的垂线，交射线 BC于点H.

解析：根据垂线的画法 "一落、二过、三画”画图即可.


解：如图所示. 方法总结：“ 是指使三角板的另一条直角边过已知点； 探

”是指把三角板的一条直角边落在已知直线上;

到直线的距离 【类型一】 点到直线的距离的运用 “三画”是指沿已知点所在的直角边画直线. 究点三：垂线的性质和点

« -二、寸”

D 如图，AC丄 BC, AC = 3, BC= 4, AB= 5.

（1）试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离; ⑵点C到直线AB的距离是多少？你能求出来吗？ 解析：（1 ）点A到直线BC的距离就是线段 AC的长；点B到直线AC的距离就是线段 BC的长；（2）过 点C作CD丄AB，垂足为D•点C到直线AB的距离就是线段 CD的长，可利用面积求得.

解：（1）点A到直线BC的距离是3,点B到直线

AC的距离是4;

1 1

⑵过点C作CD丄AB，垂足为D.三角形ABC的面积=qBC • AC = qAB • CD，所以5CD = 3X 4,所以 12 CD =—.所以点

5

12

方法总结： C到直线AB的距离为w.

5 【类型

点到直线的距离是过这一点作已知直线的垂线，垂线段的长度才是这一点到直线的距离. “垂二】

线段最短”的实际运用 如图所示，修一条路将 A, B两村庄与公路 MN连起来，怎样修才能使所修的公路最短？画出线 路图，并说明理由.

解析：连接AB,过点B作BC丄MN即可.

解：连接AB,作BC丄MN , C是垂足，线段 AB和BC就是符合题意的线路图.因为从 A到B,线段 AB最短，从B到

MN，垂线段BC最短，所以AB + BC最短.

方法总结：与垂线段有关的作图，一般是过一点作已知直线的垂线，作图的依据是 三、板书设计

“垂线段最短”

1 .垂线的概念

两条直线相交所成的 4个角中，如果有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫 做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.

2 .垂线的作法

3 .垂线的性质

过一点有且只有一条直线垂直于已知直线.

在连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短.

4 .点到直线的距离 本节课学习了垂线的概念和垂线的性质，垂直是相交的一种特殊情况，要说明两条相交线的位置关系，

一 般都是垂直•垂线的两条性质中，不要遗漏条件“在同一平面内”，以保证定理的精确性•对于垂线的概 念和性质，要让学生理解记忆

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