【Z】高数(公式集结)

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高等数学公式

导数公式：

(tgx)secx(ctgx)cscx(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna

1

(logax)

xlna

基本积分表：

2

2

(arcsinx)

1

1x2

1

(arccosx)

1x21

(arctgx)

1x2

1

(arcctgx)

1x2

tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxC

secxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxC

dx1x

arctgCa2x2aadx1xa

lnx2a22axaCdx1ax

a2x22alnaxCdxx

arcsinCa2x2

a



2

n

dx2

seccos2xxdxtgxCdx2

cscsin2xxdxctgxC

secxtgxdxsecxC

cscxctgxdxcscxC

ax

adxlnaC

x

shxdxchxCchxdxshxC

dxx2a2

ln(xx2a2)C



2

Insinxdxcosnxdx

0

0

n1

In2n



x2a22

xadxxaln(xx2a2)C

22x2a2222

xadxxalnxx2a2C

22x2a2x222

axdxaxarcsinC

22a

2

2

三角函数的有理式积分：

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2u1u2x2du

sinx，　cosx，　utg，　dx

21u21u21u2

一些初等函数： 两个重要极限：

exex

双曲正弦:shx

2exex

双曲余弦:chx

2

shxexex

双曲正切:thxx

chxeexarshxln(xx21）archxln(xx21)

11x

arthxln

21x

三角函数公式： ·诱导公式：

函数 角A -α 90°-α 90°+α 180°-α 180°+α 270°-α 270°+α 360°-α 360°+α



sinx lim1x0 x

1

lim(1)xe2.718281828459045...x x



sin cos tg -tgα ctgα

ctg -ctgα tgα -ctgα ctgα tgα -ctgα ctgα

-sinα cosα cosα cosα sinα

sinα

-sinα -ctgα -tgα -cosα -tgα

-sinα -cosα tgα -cosα -sinα ctgα -cosα sinα -sinα cosα sinα

cosα

-tgα tgα

-ctgα -tgα



·和差角公式： ·和差化积公式：

sin()sincoscossincos()coscossinsintg()

tgtg1tgtgctgctg1

ctg()

ctgctg

sinsin2sin



22

sinsin2cossin

22

coscos2coscos

22

coscos2sinsin

22

cos





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·倍角公式：

sin22sincos

cos22cos2112sin2cos2sin2ctg21

ctg2

2ctg2tg

tg2

1tg2



·半角公式：

sin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg3

13tg2

sintg



2



1cos1cos

　　　　　　　　　　　　cos222

1cos1cossin1cos1cossin

　　ctg

1cossin1cos21cossin1cos

abc

2R ·余弦定理：c2a2b22abcosC sinAsinBsinC



2



·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx



2

arccosx　　　arctgx



2

arcctgx



高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：

(uv)

(n)

k(nk)(k)

Cnuvk0

n

u(n)vnu(n1)v

n(n1)(n2)n(n1)(nk1)(nk)(k)

uvuvuv(n)

2!k!



中值定理与导数应用：

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()

柯西中值定理：

F(b)F(a)F()

曲率：



当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。

弧微分公式：ds1y2dx,其中ytg平均曲率：K



.:从M点到M点，切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长。s

yd

M点的曲率：Klim.

23s0sds(1y)

直线：K0;1

半径为a的圆：K.

a

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定积分的近似计算：

b

矩形法：f(x)

ab

ba

(y0y1yn1)n

ba1

[(y0yn)y1yn1]n2

ba

[(y0yn)2(y2y4yn2)4(y1y3yn1)]3n



梯形法：f(x)

a

b

抛物线法：f(x)

a

定积分应用相关公式：

功：WFs

水压力：FpA

mm

引力：Fk122,k为引力系数

r

b1

函数的平均值：yf(x)dxbaa1均方根：f2(t)dtbaa

空间解析几何和向量代数：

b

空间2点的距离：dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。

Prju(a1a2)Prja1Prja2

ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosi



cabax

bx

jayby

axbxaybyazbz

axayazbxbybz

2

2

2

2

2

2

k

az,cabsin.例：线速度：vwr.bz

aybycy

az



bzabccos,为锐角时，

cz

ax



向量的混合积：[abc](ab)cbx

cx代表平行六面体的体积。

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平面的方程：



1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD0

xyz

3、截距世方程：1

abc平面外任意一点到该平面的距离：d

Ax0By0Cz0D

A2B2C2

xx0mt

xxyy0zz0

空间直线的方程：0t,其中s{m,n,p};参数方程：yy0nt

mnpzzpt

0二次曲面：

x2y2z2

1、椭球面：2221

abcx2y2

2、抛物面：z（,p,q同号）

2p2q3、双曲面：

x2y2z2

单叶双曲面：2221

abcx2y2z2

双叶双曲面：222（马鞍面）1

abc



多元函数微分法及应用



全微分：dz

zzuuudxdy　　　dudxdydzxyxyz

全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：

dzzuzv

zf[u(t),v(t)]　　　　

dtutvt

zzuzv

zf[u(x,y),v(x,y)]　　　　

xuxvx

当uu(x,y)，vv(x,y)时，du

uuvv

dxdy　　　dvdxdy　xyxy

隐函数的求导公式：

FxFFdydyd2y

隐函数F(x,y)0，　　，　　2(x)＋(x)

dxFyxFyyFydxdxFyFxzz

隐函数F(x,y,z)0，　，　　

xFzyFz

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F

F(x,y,u,v)0(F,G)u

隐函数方程组：　　　JGG(x,y,u,v)0(u,v)

u

u1(F,G)v1(F,G)　　　　xJ(x,v)xJ(u,x)u1(F,G)v1(F,G)　　　　yJ(y,v)yJ(u,y)

微分法在几何上的应用：

F

vFuGGuv

FvGv



x(t)

xxyy0zz0

空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0

(t)(t)(t0)00z(t)



在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T{,,

GGGxGGG(x,y,z)0yzzx

曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：



1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、过此点的法线方程：

Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)

方向导数与梯度：

Fy

}Gy

2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)0

fff

函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossin

lxy其中为x轴到方向l的转角。

ffijxy



f

它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的

l

单位向量。f

是gradf(x,y)在l上的投影。l函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)

多元函数的极值及其求法：

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设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)CA0,(x0,y0)为极大值2ACB0时，

A0,(x0,y0)为极小值2

则：值ACB0时，　　　　　　无极ACB20时,　　　　　　　不确定

重积分及其应用：



f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrd

D

D

曲面zf(x,y)的面积A

D

zz

1ydxdyx

2

2

M

平面薄片的重心：xx

M

x(x,y)d

D

(x,y)d

D

D

,　　y

MyM



y(x,y)d

D

(x,y)d

D

D



平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2(x,y)d,　　对于y轴Iyx2(x,y)d平面薄片（位于xoy平面）对z轴上质点M(0,0,a),(a0)的引力：F{Fx,Fy,Fz}，其中：Fxf

D

(x,y)xd

(xya)

2

2

22

，　　Fyf3

D

(x,y)yd

(xya)

2

2

22

，　　Fzfa3

D

(x,y)xd

(xya)

2

2

3

22

柱面坐标和球面坐标：

xrcos

柱面坐标：f(x,y,z)dxdydzF(r,,z)rdrddz,yrsin,　　　zz

其中：F(r,,z)f(rcos,rsin,z)

xrsincos2

球面坐标：yrsinsin，　　dvrdrsinddrrsindrdd

zrcos

2



r(,)

f(x,y,z)dxdydzF(r,,)r





2

sindrdddd

0

0

F(r,,)r

0

2

sindr

重心：x

1M

xdv,　　y





1M

ydv,　　z





1M

zdv，　　其中Mxdv







转动惯量：Ix(y2z2)dv，　　Iy(x2z2)dv，　　Iz(x2y2)dv

曲线积分：

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第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：

x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(t),则：

y(t)



L

xt22

f(x,y)dsf[(t),(t)](t)(t)dt　　()　　特殊情况：

y(t)



第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)

设L的参数方程为，则：

y(t)



P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dt

L

两类曲线积分之间的关系：PdxQdy(PcosQcos)ds，其中和分别为

L

L

L上积分起止点处切向量的方向角。QPQP

格林公式：()dxdyPdxQdy格林公式：()dxdyPdxQdyxyxyDLDLQP1当Py,Qx，即：2时，得到D的面积：Adxdyxdyydx

xy2L

D·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；

2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！

·二元函数的全微分求积：QP

在＝时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy

(x,y)

QP

＝。注意奇点，如(0,0)，应xy



u(x,y)

(x0,y0)

P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x

0

y00。

曲面积分：

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22

对面积的曲面积分：f(x,y,z)dsf[x,y,z(x,y)]1z(x,y)z(x,y)dxdyxy



Dxy

对坐标的曲面积分：，其中：P(x,y,z)dydzQ(x,y,z)dzdxR(x,y,z)dxdy



号；R(x,y,z)dxdyR[x,y,z(x,y)]dxdy，取曲面的上侧时取正



Dxy

号；P(x,y,z)dydzP[x(y,z),y,z]dydz，取曲面的前侧时取正



Dyz



号。Q(x,y,z)dzdxQ[x,y(z,x),z]dzdx，取曲面的右侧时取正



Dzx

两类曲面积分之间的关系：PdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)ds





高斯公式：

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(



PQR)dvPdydzQdzdxRdxdy(PcosQcosRcos)dsxyz

高斯公式的物理意义——通量与散度：

PQR

散度：div,即：单位体积内所产生的流体质量，若div0,则为消失...

xyz

通量：AndsAnds(PcosQcosRcos)ds，因此，高斯公式又可写成：divAdvAnds











斯托克斯公式——曲线积分与曲面积分的关系：

(



RQPRQP

)dydz()dzdx()dxdyPdxQdyRdzyzzxxy

cos

yQ

coszR



dydzdzdxdxdycos

上式左端又可写成：xyzx

PQRP

RQPRQP

空间曲线积分与路径无关的条件：，　，　

yzzxxyijk



旋度：rotA

xyzPQR



向量场A沿有向闭曲线的环流量：PdxQdyRdzAtds





常数项级数：

1qn等比数列：1qqq

1q(n1)n

等差数列：123n

2

111

调和级数：1是发散的

23n

2

n1

级数审敛法：

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1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛



设：limnun，则1时，级数发散

n

1时，不确定2、比值审敛法：

1时，级数收敛

U

设：limn1，则1时，级数发散

nUn1时，不确定

3、定义法：

snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。

n



交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理： unun1如果交错级数满足su1,其余项rn的绝对值rnun1。limu0，那么级数收敛且其和

nn

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un

如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。 1(1)n

调和级数：n发散，而n收敛；

1

　　级数：n2收敛；

ｐ１时发散1

　　p级数：　　npp1时收敛

幂级数：

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1

x1时，收敛于

1x1xx2x3xn　　

x1时，发散

对于级数(3)a0a1x　a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全

xR时收敛

数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。

xR时不定

1



0时，R

求收敛半径的方法：设lim

an1

，其中an，an1是(3)的系数，则0时，R

nan

时，R0



函数展开成幂级数：

f(x0)f(n)(x0)2

函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n

2!n!

f(n1)()

余项：Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0

n(n1)!f(0)2f(n)(0)n

x00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxx

2!n!

一些函数展开成幂级数：

m(m1)2m(m1)(mn1)n

xx　　　(1x1)2!n!

2n1

x3x5x

sinxx(1)n1　　　(x)

3!5!(2n1)!(1x)m1mx

欧拉公式：

eixeix

cosx2 eixcosxisinx　　　或ixixsinxee2

三角级数：

a0

f(t)A0Ansin(ntn)(ancosnxbnsinnx)

2n1n1

其中，a0aA0，anAnsinn，bnAncosn，tx。

正交性：1,sinx,cosx,sin2x,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积在[,]上的积分＝0。

傅立叶级数：

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




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a0

f(x)(ancosnxbnsinnx)，周期2

2n1



1

(n0,1,2)anf(x)cosnxdx　　　



其中

1b(n1,2,3)nf(x)sinnxdx　　　

112

122

835

　1112



24224262

正弦级数：an0，bn余弦级数：bn0，an

1112

1222（相加）

6234

1112

1222（相减）

12234f(x)sinnxdx　　n1,2,3　f(x)b

0



2



n

sinnx是奇函数

2







0

f(x)cosnxdx　　n0,1,2　f(x)

a0

ancosnx是偶函数2

周期为2l的周期函数的傅立叶级数：

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a0nxnxf(x)(ancosbnsin)，周期2l

2n1ll

l1nx

dx　　　(n0,1,2)anf(x)cos

lll

其中l

b1f(x)sinnxdx　　　(n1,2,3)nlll



微分方程的相关概念：

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0

可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：

g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)F(x)C称为隐式通解。

dyy

f(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法： dxx

ydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，

xdxdxdxx(u)ux齐次方程：一阶微分方程可以写成即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：

dy

1、一阶线性微分方程：P(x)yQ(x)

dx

P(x)dx

当Q(x)0时,为齐次方程，yCe

P(x)dxP(x)dx当Q(x)0时，为非齐次方程，y(Q(x)edxC)e



dy

2、贝努力方程：P(x)yQ(x)yn，(n0,1)

dx

全微分方程：

如果P(x,y)dxQ(x,y)dy0中左端是某函数的全微分方程，即：

uu

du(x,y)P(x,y)dxQ(x,y)dy0，其中：P(x,y)，Q(x,y)

xyu(x,y)C应该是该全微分方程的通解。

二阶微分方程：

f(x)0时为齐次d2ydy

P(x)Q(x)yf(x)，

dxdx2f(x)0时为非齐次

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法：

(*)ypyqy0，其中p,q为常数；求解步骤：

1、写出特征方程：()r2prq0，其中r2，r的系数及常数项恰好是(*)式中y,y,y的系数；2、求出()式的两个根r1,r2

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3、根据r1,r2的不同情况，按下表写出(*)式的通解：

r1，r2的形式

两个不相等实根(p24q0) 两个相等实根(p24q0) 一对共轭复根(p24q0)

(*)式的通解

yc1er1xc2er2x y(c1c2x)er1x

yex(c1cosxc2sinx)

r1i，r2i4qp2 p

，

22

二阶常系数非齐次线性微分方程

ypyqyf(x)，p,q为常数f(x)exPm(x)型，为常数；f(x)ex[Pl(x)cosxPn(x)sinx]型





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