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第30讲 平面向量的概念及线性运算
→
1．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD内任意一点，则OA→→→
＋OB＋OC＋OD等于(D)
→→A.OM B．2OM
→→C．3OM D．4OM
→→→→→→→→ OA＋OB＋OC＋OD＝(OA＋OC)＋(OB＋OD) →→→＝2OM＋2OM＝4OM.
→→
2．(2016·广州市综合测试(一))设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积之比是(B)
11A. B. 3223C. D. 34
→→
由CP＝2PA知，PA∶PC＝1∶2，
S△PABPA1所以＝＝.
S△PBCPC2
ab
3．设a，b是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(C)
|a||b|
A．a＝－b B．a∥b
C．a＝2b D．a∥b且|a|＝|b|
abab
因为向量的方向与a相同，向量的方向与b相同，且＝，所以向量a与b
|a||b||a||b|的方向相同，故可排除A，B，D. a2bb
当a＝2b时，＝＝，
|a||2b||b|ab
故a＝2b是＝成立的充分条件．
|a||b|
→→→→→
4．(2017·广东东莞二模)如图所示，已知AC＝3BC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则下列等式成立的是(A)
31
A. c＝b－a B．c＝2b－a
22
31
C．c＝2a－b D．c＝a－b
22
→→→→3→→3→→3→1→31 因为OC＝OA＋AC＝OA＋AB＝OA＋(OB－OA)＝OB－OA＝b－a.
222222
1
5．已知a、b是两个不共线的向量，若它们起点相同，a、b、t(a＋b)三向量的终点在
2
1
一条直线上，则实数t＝ .
3
1
因为a、b、t(a＋b)的终点在一条直线上，
2
1
所以t(a＋b)－a＝λ(a－b)，
21
即(t－λ－1)a＋(t＋λ)b＝0，
2
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t－λ－1＝0，1
又因为a、b不共线，故1解得t＝.
3t＋λ＝0，2
x→→→→→
6．(2017·河南三市联考)在锐角△ABC中，CM＝3MB，AM＝xAB＋yAC，则＝ 3 .
y
→→→→
由题意可得CA＋AM＝3(AB－AM)， →→→→3→1→即4AM＝3AB＋AC，亦即AM＝AB＋AC，
44
31x
所以x＝，y＝，所以＝3.
44y
→→
7．如图，以向量OA＝a，OB＝b为边作平行四边形AOBD，C为OD与AB的交点，若→1→→1→→BM＝BC，CN＝CD，试用a，b表示MN.
33
1→→→→1→1
因为BA＝OA－OB＝a－b，BM＝BA＝a－b.
666
→→→15所以OM＝OB＋BM＝a＋b.
66
→
又OD＝a＋b，
→→→1→1→2→22故ON＝OC＋CN＝OD＋OD＝OD＝a＋b，
26333
→→→221511所以MN＝ON－OM＝a＋b－a－b＝a－b.
3366268．(2016·石家庄市第一次模拟)已知A，B，C是圆O上的不同的三点，线段CO与线段
→→→
AB交于D，若OC＝λOA＋μOB(λ∈R，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是(B)
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(1，2] D．(－1,0)
→→
→|OD|→|OD|→→ OD＝OC＝(λOA＋μOB)
→→|OC||OC|→→λ|OD|→μ|OD|→＝OA＋OB，
→→|OC||OC|
→→|OD||OD|
因为A，B，D共线，所以λ＋μ＝1，
→→|OC||OC|
→|OC|
所以λ＋μ＝，
→|OD|→|OC|
由题意易知>1，
→|OD|
所以λ＋μ∈(1，＋∞)．
→→→→
9．在△ABC所在的平面上有一点P，满足PA＋PB＋PC＝AB，若△ABC的面积为12 cm2，则△PBC的面积为 8 cm2 .
→→→→ 因为PA＋PB＋PC＝AB， →→→→→所以PA＋PB＋PC＝AP＋PB，
→→
所以PC＝2AP，所以点P是CA的三等分点，
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本文来源：https://www.wddqxz.cn/994e0085beeb19e8b8f67c1cfad6195f312be8ca.html
2023-01-15
