《函数的单调性与导数》技巧点拨

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《函数的单调性与导数》技巧点拨

升华 用分类讨论思想解决含参数的函数单调性问题

利用导数研究含参函数的单调性问题，一般需要根据参数的取值范围对导数为正（或为负）的不等式进行分类讨论.注意如下几个分类点：不等式解集的端点、定义域的端点、最高次项的系数.先分析最高次项的系数，再分析不等式解集端点的大小关系，最后看不等式解集端点与定义域的关系，还需检查参数的分类是否有重复或者遗漏.

例（★★）已知函数f(x)ax2(2a)xlnx(aR).试讨论f(x)的单调性. 思路分析 求导数,分析f(x)的定义域,根据导数的正负,结合a的范围,讨论

f(x)的单调性.

12ax2(2a)x1(ax1)(2x1)

,f(x)的定义域解析 f(x)2ax2a

xxx

), 为(0，

令y(ax1)(2x1), 很明显a0是一个临界值. 当a0时,令ax10,则x值.

故可分a2,a2,2a0,a0,a0五种情况讨论.

111

.当时,a2,即a2又是一个临界aa2

y(ax1)(2x1)的图象分别为以下五种情况. 如图①,当

11

a2时,f(x)的增区间为a2

11

,,增区间为a2

110,,,;

a2

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如图②,当

11

a2时,f(x)在(0,)上单调递减； a2



如图③,当

1111

2a0时,f(x)的增区间为,,减区间为 a22a

11

0,,,; 2a



11如图④⑤,当a0时,f(x)的减区间为0,,增区间为,.

22



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