人教版数学高二年级《椭圆》教学设计[1]

【#文档大全网# 导语】以下是®文档大全网的小编为您整理的《人教版数学高二年级《椭圆》教学设计[1]》，欢迎阅读！

欢迎光临《数学教育网》下载资料

椭圆

下面我们首先来介绍椭圆的基本知识：

1． 椭圆的定义

平面内与两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

这里同学们应特别注意定义中的常数要大于F1F2，若常数等于F1F2呢？则其动点轨迹就是线段F1F2；若常数小于F1F2呢？则其轨迹不存在。 2． 椭圆的标准方程

我们利用对称性建立平面直角坐标系，由椭圆的定义可得出椭圆的标准方程

xa

22



yb

22

1 或

ya

22



xb

22

。 1（ab0）

关于椭圆的标准方程，同学们要注意以下几点：

（1） 任何一个椭圆，只要适当地建立坐标系，其方程均可写成标准形式，当且仅

当椭圆的中心在原点，其焦点在坐标轴上时，椭圆的方程才具有标准形式。

（2） 在标准方程中，隐含着ab0，cab这两个条件，这在解题中随时可能用

到。

（3） 标准方程中的两个参数a、b，确定了椭圆的形状和大小，是椭圆的定形条件。 （4） 焦点F1、F2的位置，是椭圆的定位条件，它决定标准方程的类型，即知道了

焦点位置，其标准方程只有一种形式，不知道焦点位置，其标准方程具有两

种形式。

3． 椭圆的几何性质（见下表） 标准方程

xa

22

222



yb

22

1（ab0）

ya

22



xb

22

1（ab0）

l1

图形

A1

y

B2 F2 B1

y A2 F2



l2

l2

F1

A2 x

B1 O B2

F1 A1

x l1

性质

焦点 焦距 范围 对称 顶点 轴

F1(c,0)，F2(c,0) F1(0,c)，F2(0,c)

222

F1F22c (cab)

a  x  a, b  y  b b  x  b, a  y  a

关于x轴，y轴和原点都对称

A1(a,0)，A2(a,0) B1(b,0)，B2(b,0) B1(0,b)，B2(0,b) A1(0,a)，A2(0,a)

长轴A1A2，长轴长2a，短轴B1B2，短轴长2b

e

ca



离心率 0e1,

ba

1e

2



数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋


欢迎光临《数学教育网》下载资料

准线

l1:x

a

2

c

,l2:x

a

2

c



l1:y

a

2

c

,l2:y

a

2

c



对于椭圆的几何性质同学们要掌握以下几个内容：

（1） 给定椭圆方程，要很快说出焦点坐标、顶点坐标、长轴和短轴的长、离心率。 （2） 了解椭圆的范围，以后在求参数取值范围时可能要用到。

（3） 要熟悉椭圆中主要参数a、b、c，相互关系及与图中各种线段的关系。 我们以焦点在x轴上的椭圆

xa

22



yb

22

1（ab0）为例，以下内容均应熟练掌握，做

到脱口而出。F1F22c、A1A22a、B1B22b。l1、l2间的距离为F1B2F2B2a

F1C1F2C2A1C1A2C2

aa

2

2ac

2

，，

，

c

b

2

A1F1A2F2ac

c

，A1F2A2F1ac

c

2

，

c

a。



x

a



y



B2

x

a

2

cc

C1 l1

A1

F1 O

B1

F2

A2 C2 l2

x



4． 椭圆的第二定义

我们前面介绍的椭圆的定义称为第一定义，下面我们来看第二定义。

我们把平面内到定点F及定直线l的距离之比等于定值e（0e1）的点的轨迹叫做椭圆，定点F称为焦点，定直线l称为准线，定比e称为离心率。

由于两种定义方式下的曲线，具有相同形式的方程，所以说这两种定义是等价的。 5． 椭圆的焦半径公式

椭圆上任意一点到焦点的距离称为椭圆的焦半径，下面我们来推导椭圆的焦半径公式。 设椭圆

xa

22



yb

22

1（ab0）的左、右焦点分别为F1(c，0)，F2(c，0)，P(x1，y1)是

椭圆上一点，求PF1、PF2的长。 解：设椭圆的右准线为l2:x

a

2

c

，作PQl2于Q，则

数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋


欢迎光临《数学教育网》下载资料

PQ

a

2

c

x1



PF2PQ

e（椭圆第二定义）

PF2ePQe

a

2

c

x1aex1

∵0e1，ax1a  ex1eaa，即a ex10

PF2aex1

又∵PF1PF22a（椭圆第一定义） PF12a(aex1) aex1 即椭圆

xa

22



yb

22

（ab0）上任意一点1P(x1，y1)的焦点半径公式为PF1 aex1，

PF2aex1。

同样可得椭圆

ya

22



xb

22

（ab0）上任意一点1P(x1，y1)的焦点半径公式为PF1

aey1，PF2aey1。[其中焦点坐标F1(0,c)，F2(0,c)]

说明由焦半径公式马上可以得到以下结论：

椭圆上到焦点的距离最大和最小的点，恰是椭圆长轴的两个端点。

这由焦半径公式PF1 aex1及a x1a即可推得PF1maxac，PF1minac（或用PF2aex1亦可）

以上我们介绍了椭圆的有关知识，下面我们看一些类型例题。

例1．已知ABC中，A3, 0)，B3, 0)，且三边AC、AB、BC依次成等差数列，求顶点C的轨迹方程。

分析：由已知可得ACBC2AB12，而12AB 于是点C的轨迹符合椭圆的定义

解：设C (x, y) ∵A3, 0)，B3, 0)为焦点的椭圆 AB6

∵三边AC、AB、BC依次成等差数列 ACBC2AB12，而12AB 点C的轨迹是以A3, 0)，B3, 0)为焦点的椭圆 ∵2c6，2a12

 c3，a6，b2a2c227 顶点C的轨迹方程为

1 3627

数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋

x

2

y

2


欢迎光临《数学教育网》下载资料

注意到若点C在x轴上，此时C、A、B三点共线不能构成三角形，故点C的轨迹方程为

x

2

36



y

2

27

1（y0）

点评：本题点C的轨迹符合椭圆的定义，于是求点C的轨迹方程直接套用椭圆的标准方程即可。这是求动点轨迹方程的一类典型题，我们称这种方法为“直接法”。

例2．若椭圆

x

2

100



y

2

36

1上一点P到它的右准线的距离为10，则点P到它的左

焦点的距离为（ ）

A．12 B．2 C．8 D．10

分析：由已知及第二定义可求得点P到右焦点的距离，再由第一定义即可求得。 解：由已知可得a10，b6，c8，e

45



设点P到右准线的距离为d2，左、右焦点分别为F1、F2 则由第二定义知

PF2d2

e PF2ed210

458



再由第一定义知PF1PF22a20 PF120812 故选A

点评：本题是联合使用第一定义、第二定义的基本题。

同学们要重视利用圆锥曲线的定义来解题，这是高考标准化题易出的题型。 例3．P是椭圆

xa

22



yb

22

（ab0）上一点，F1、F2是它的两个焦点，且F1PF2，1

y

则F1PF2的面积为

分析：如图，设PF1m，PF2n，SFPF

1

2

12

mnsin



m F1

P

于是只要求出mn的值即可

而在F1PF2中，mn2a，F1F22c

于是再由余弦定理即可求出mn的值

解：在F1PF2中，由余弦定理可得 m2n22mncos4c2

即mn22mn2mncos4c2 2mn

4a4c

2

2

 n

O F2

x

1cos12

即mn

12

2b

2b

2

2

1cos



2

SFPF

1

2

mnsin

1cos

sinbtan

2



点评：本题是椭圆中一类典型题，深入钻研本题可会解一类题，本题展开思路的

基础是，在F1PF2中，mn2a，F1F22c，以及余弦定理，此外在F1PF2中还有可能用到三角形内角和定理及正弦定理（这些我们在后面的例题会介绍）

数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋


欢迎光临《数学教育网》下载资料

例4．F1、F2是椭圆

xa

22



yb

22

1（ab0）的两焦点，过F1的弦AB与F2构成等

腰直角三角形ABF2，若BAF290，则此椭圆离心率的值为 。

分析：如图，我们要在变中找不变量，虽然ABF2在变，但是其周长不变，为定

值4a，又ABF2为等腰直角三角形，于是BF2中，由勾股定理可推得a，c的关系即可。 解：由第一定义可得

AF1AF22a，BF1BF22a  ABF2的周长为4a 又在Rt ABF2中

∵ABAF2 设AF2x xx2x4a 解得x

4

a

2AB

2AF2

，由方程的思想可

求得AF2的值（用a表示），进而又可求得AF1的值（用a表示），从而在RtAF1F2

y A F1 B

42

2a

O

F2

x

，即AF24



AF12a

22

a

221

a

在RtAF1F2中，由勾股定理可得 AF12AF22F1F22  即



2

aa4c 21

ca

321



6

3

2

2

2

解得

即e6

x

2

3

y

2

例5．求椭圆

169

1上的点P，使其到直线l：3x4y500的距离最大或最

小，并求此最大值或最小值。

分析：欲求此椭圆上的点到直线l距离的最值，关键在于建立距离的目标函数，

若

yx

设P(x0, y0)，则距离df (x0, y0)为二次函数，求最值有困难，由于1，于

43





数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋


欢迎光临《数学教育网》下载资料

是可设

x4

cos，则

y3

，即x4cos，y3sin，即可设P(4cos，sin（02）

3sin)问题转化为三角函数求最值，显然求解很简明。

解：设P(4cos，3sin)（02）则点P到直线l的距离 d

34cos43sin50

5

15

12sincos50

1







122sin50 54

当sin

5



122

时，d10 1max

54



； 

此时

32

，点P坐标为22,

42

当sin





122

时， d101min

54

； 

xa

22

32

此时，点P坐标为22,

42

点评：教材通过P101页—例5介绍了椭圆



yb

22

1（ab0）的参数方程为

xacos

（为参数），由于参数没有明显的几何意义，所以椭圆的参数方程在

ybsin

大多数情况下并不好使，只是对于本例这样的题型才有用武之地。这一点请同学们务必注意。

例6．已知椭圆中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，直线yx1和椭圆交于P、Q

两点，且OPOQ，PQ

102

，求椭圆方程。

分析：由于已知条件不能确定椭圆焦点位置，所以如何设所求椭圆方程是解本题

的关键。求一个椭圆的方程，本质是求x2，y2项的系数，于是可设此椭圆方程为

px2qy21 (p0, q0)。以下根据OPOQ，PQ

102

得到p，q的方程组，再求解

数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋


欢迎光临《数学教育网》下载资料

即可。

解：设椭圆方程为px2qy21 (p0, q0) yx12

由2得 (pq)x2qxq10 ① 2

pxqy1

设P(x1, x11)，Q(x2, x21) ∵OPOQ 

x11x1

x21x2

1

2x1x2  (x1x2) 10 ② 又PQ

2

xx2x1x21

22

5

 2

2

4(x1x2)216x1x250 ③ 又由韦达定理，从方程①得

q

xx21

pq

代入②，③得

q1xx

12pqpq2

2

16q16q

1pqpq5

2



0

4q28q30 

p



q



p2

或 1q

23

1232



所求椭圆方程为3x2y22或x23y22

点评：本例属于椭圆方程预先不能定位的题型，可考虑设此椭圆方程为

px2qy21(p0, q0)，其优点有二：第一它可包含两种不同位置；第二其方程为整式

方程，给计算带来方便，此外，本例是用待定系数法求椭圆方程的典型题，过程中用到方程的思想，在解方程组时，要注意运算的合理性。

这节课我们介绍了椭圆的全部基本知识，选讲了6道基本例题，同学们务必要把每道例题 的基本思路搞清楚。要弄透一道题，才能会解一类题，提高学习效率，收到事半功倍的效

果。

数学教育网http://www.shuxue.com.cn/ 主审戴刚锋

本文来源：https://www.wddqxz.cn/a02378115b0216fc700abb68a98271fe910eaf9f.html