三角形外心内心重心垂心与向量性质

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欧阳数创编

三角形的“四心”



时间：2021.03.02



创作：欧阳数

所谓三角形的“四心”是指三角形的重心、垂心、外心及内心。当三角形是正三角形时，四心重合为一点，统称为三角形的中心。 一、三角形的外心

定 义：三角形三条中垂线的交点叫外心， 即外接圆圆心。ABC的重心一般用字母O表示。 性 质：

1.外心到三顶点等距，即OAOBOC。 2.外心与三角形边的中点的连线垂直于三角形

的这一边，即ODBC,OEAC,OFAB. 3.向量性质：若点O为ABC所在的平面内一点，满足

(OAOB)BA(OBOC)CB(OCOA)AC，则点O为ABC的外

心。

二、三角形的内心

定 义：三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心，即内切圆圆心。ABC的内心一般用字母I表示，它具有如下

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性质： 性 质：

1.内心到三角形三边等距，且顶点与内心的连线平分顶角。

2.三角形的面积＝1三角形的周长内切圆的半

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径．

3.向量性质：设0,，则向量

AP(

AB|AB||AC|

AC

)，则动点P的轨迹过ABC的内心。

三、三角形的垂心

定 义：三角形三条高的交点叫重心。ABC的重心一般用字母H表示。 性 质：

1.顶点与垂心连线必垂直对边，

即AHBC,BHAC,CHAB。 2.向量性质：

结论1：若点O为ABC所在的平面内一点，满足

OAOBOBOCOCOA，则点O为ABC的垂心。

结论2：若点O为△ABC所在的平面内一点，满足

OABCOBCAOCAB

2

2

2

2

2

2

，

则点O为ABC的垂心。

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四、三角形的“重心”：

定 义：三角形三条中线的交点叫重心。ABC的重心一般用字母G表示。 性 质：

1.顶点与重心G的连线必平分对边。

2.重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的2倍。

即GA2GD,GB2GE,GC2GF

3.重心的坐标是三顶点坐标的平均值．

即xG

xAxBxCyyByC

. ,yGA

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4.向量性质：（1）GAGBGC0；

（2）PG(PAPBPC)。

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时间：2021.03.02



创作：欧阳数

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