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第十六章 分式
16.1 分式
16.1.1 从分数到分式
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子分式
AB
AB
叫做分式。
中，A叫做分子，B叫做分母。
分式是不同于整式的另一类式子。（分式和整式通称为有理式。）
（分式是不同于整式的另一类有理式，且分母中含有字母是分式的一大特点。） 由于字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性。 （分式的值为0：当分子等于0而分母不等于0时，分式的值为0。 （当
AB
=0时，分子A=0且分母B≠0。）
（答题格式：①分子=0；②代入分母≠0；③最后答案）
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0，分式
AB
AB
才有意义。（当B=0时，分式无意义。）
16.1.2 分式的基本性质
一般地，对于任意一个分数
ab
有
ab
ac
bc
，
ab
acbc
（c≠0），其中a，b，
c是数。
分数的基本性质：一个分数的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的数，分数的值不变。
分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个等于0的整式，分式的值不变。
上述性质可以用式子表示为 C是整式。
（分式的符号法则：①
－B－A
AB
A ² CB ² C
，
AB
A CB C
（C≠0），其中A，B，
BA
；②
－B
A
B
－A
－
BA
分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。）
利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。经过约分后的分式，其分子与分母没有公因式，像这样分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。
分式的约分，一般要约去分子和分母所有的公因式，使所得结果成为最简分式或者整式。 利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。
为通分要先确定各分式的公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母。
（（x+a）(x+b）=x+（a+b）x+ab x+px+q=（x+a）（x+b） p=a+b ，q=ab)
22
16.2 分式的运算
16.2.1 分式的乘除
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。（乘以除式的倒数）
上述法则可以用式子表示为 运算结果应化为最简分式。
分子、分母是多项式时，先分解因式便于约分。 乘除混合运算可以统一为乘法运算。 一般地，当n是（正）整数时， ()
b
a
n
ab
cd
acbd
ab
cd
ab
dc
adbc
;
ab
nn
;
这就是说，分式乘方要把分子、分母分别乘方。
16.2.2 分式的加减
分式的加减法法则是：
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 上述法则可用式子表示为
ac
bc
abc
，
ab
cd
adbd
bcbd
adbcbd
式与数有相同的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减。
16.2.3 整数指数幂
正整数指数幂有以下运算性质： （1）am²an=am+ n（m，n是正整数）； （2）（am）n=amn（m，n是正整数）； （3）（ab）n=anbn（n是正整数）；
（4）am÷an = am- n（a≠0，m，n是正整数，m＞n） （5）（
ab
）= （n是正整数）
其中，第（5）个性质就是分式的乘方法则。
0指数幂，即当a≠0时，a0=1
学习了分式后，对指数的认识会有新发展，即将讨论的a-n（n是正整数）就属于分式。 一般地，当n是正整数时，a-n = （a≠0） 这就是说，a-n（a≠0）是的倒数。 （1.a0=1（a≠0） 2. a-n = （a≠0） 3.a的倒数记作：
1
a
或a-1）
（1n=1 a2≥0 a-2≥0）
（当指数为0、负整数时，底数不能为0。）
归纳：am²an=am+n这条性质对于m，n是任意整数的情形任然适用。
负数的引入可以使减法转化为加法，即x－y＝x＋（－y）；负指数幂的引入可以使除法转化为幂的乘法，即
xy
=x²y－1
小于1的正数可以用科学计数法表示为a³10-n的形式，其中a是整数数位只有一位的正数，n是正整数。这种形式更便于比较数的大小。
（a³10，1≤a＜10，n是整数。
一般地，10的－n次幂，在1前有n个0（包括小数点前面的0。））
-n
16.3 分式方程
分母中含未知数的方程叫做分式方程。
（一元方程的解成为根。）
归纳：解分式方程的基本思路是将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母。这也是解分式方程的一般思路和做法。 归纳：一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
（解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”。它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程
（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根。）
（解分式方程的应用题的方法：审、设、列、解、验、答）
第十七章 反比例函数
17.1 反比例函数
17.1.1 反比例函数的意义
一般地，形如y
kx
（k为常数，k0）的函数称为反比例函数。其中x是自变量，y
是函数。自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。
在y
kx
中，自变量x是分式
kx
kx
的分母，当x=0时，分式
1
kx
无意义。
（等价形式：y（k0）或ykx（k0）或xy=k（k0）（一般不写成这样。））
17.1.2 反比例函数的图象和性质
归纳：（1）反比例函数y
kx
（k为常数，k0）的图象是双曲线；
（2）当k＞0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小；
（3）当k＜0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。
随着x的不断增大（或减小），曲线越来越接近x轴（或y轴）。 （2、反比例函数的图像
反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标
轴。
3、反比例函数的性质 反比例函数 k的符号
y
图像
O x
①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；
②当k>0时，函数图像的两个分支分别 在第一、三象限。在每个象限内，y 随x 的增大而减小。
4、反比例函数解析式的确定
确定及诶是的方法仍是待定系数法。由于在反比例函数y
kx
kx
y(k0)
k>0
y
k<0
O x
①x的取值范围是x0， y的取值范围是y0；
②当k<0时，函数图像的两个分支分别 在第二、四象限。在每个象限内，y 随x 的增大而增大。
性质
中，只有一个待定系数，
因此只需要一对对应值或图像上的一个点的坐标，即可求出k的值，从而确定其解析式。
5、反比例函数中反比例系数的几何意义
如下图，过反比例函数y
kx
(k0)图像上任一点P作x轴、y轴的垂线PM，PN，
则所得的矩形PMON的面积S=PMPN=yxxy。
y
kx
,xyk,Sk。）
17.2 实际问题与反比例函数
第十八章 勾股定理
18.1 勾股定理
勾股定理（直角三角形的性质定理）：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边长为c，那么abc
（一组勾股数同时扩大或缩小相同的倍数，仍是勾股数。）
2
2
2
18.2 勾股定理的逆定理
勾股定理的逆定理（直角三角形的判定）：如果三角形的三边长a，b，c满足abc，
2
2
2
那么这个三角形是直角三角形。
题设与结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
一般地，如果一个定理的逆命题经过证明是正确的，它也是一个定理，称这两个定理互为逆定理。
能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。
第十九章 四边形
19.1平行四边形
定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 性质：①平行四边形的对边相等且平行。
②平行四边形的对角相等，邻角互补。 ③平行四边形的对角线互相平分。
平行四边形是中心对称图形。
（过平行四边形的对角线交点作直线与平行四边形的一组对边或对边的延长线相交，得到的线段总相等。）
平行四边形的对角线将其分成4个面积相等的三角形。
判定：（定义）两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
判定定理：
①两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
②对角线互相平分的四边形是平行四边形。 ③两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 ④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
（⑤三组邻角分别互补的四边形是平行四边形。 （选择题可用））
连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。
（两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离（两条平行线间的距离）。）
两条平行线间的距离处处相等。
两条平行线间的任何两条平行线段都是相等的。（夹在两平行线间的平行线段相等。）
19.2特殊的平行四边形
19.2.1矩形
定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，也就是长方形。 性质：矩形具有平行四边形的所有性质。
①矩形的四个角都是直角。 ②矩形的对角线相等。
（矩形是轴对称图形。）
矩形的对角线将其分成4个面积相等的等腰三角形。
如果矩形两对角线的夹角为60°或120°，其中必有等边三角形。
直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于写边的一半。
判定：（定义）有一个角是直角的平行四边形是矩形。
判定定理：
①对角线相等的平行四边形是矩形。（对角线相等且互相平分的四边形是矩形。）
②有三个角是直角的四边形是矩形。
19.2.2菱形
定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。
性质：菱形是轴对称图形，它的对角线所在的直线就是它的对称轴（2条）。
（菱形是中心对称图形，对角线交点为对称中心（重心）。）
菱形具有平行四边形的所有性质。
①菱形的四条边都相等。
②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。
（菱形的对角线把菱形分成四个全等的小直角三角形，而一般的平行四边形只被分成了两对全等的三角形，一对是锐角三角形，一对是钝角三角形。）
S菱形=1/2ab（a，b分别为对角线的长。）
判定：（定义）一组邻边相等的平行四边形是菱形。
判定定理：
①对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 （对角线互相垂直平分的四边形是菱形。） ②四边相等的四边形是菱形。
19.2.3正方形
定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。
（既是矩形，又是菱形的四边形叫做正方形。）
性质：正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质。
（边：对边平行，四边相等 角：四个角都是直角
对角线：相等、垂直且互相平分，每一条对角线平分一组对角。 对称性：既是中心对称图形，又是轴对称图形。） （正方形的对角线把正方形分成四个全等的等腰直角三角形。） （判定：菱形+一个角是直角 矩形+一组邻边相等）
19.3梯形
定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形（只有一组对边平行的四边形
叫做梯形）。两腰相等的梯形叫做等腰梯形，有一个角是直角的梯形叫做直角梯形。
性质：等腰梯形是轴对称图形，过两底中点的直线是对称轴。
由等腰梯形是轴对称图形可以得到等腰梯形的性质：
①等腰梯形同一底边上的两个角相等。 ②等腰梯形的两条对角线相等。
③两腰相等。
判定：定义：两腰相等的梯形是等腰梯形。
判定定理：同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形。 （对角线相等的梯形是等腰梯形。）
S等腰梯形（对角线垂直）=1/4（a+b）2 (a,b为上、下底)
性质：梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半（梯形的中位线平行于上、下底，且等于两底和的一半）。
S梯形=1/2（a+b）²h （a,b 为上、下底，h为高）=lh（l是中位线）
19.4课题学习 重心 重心定义：
1.线段的重心：线段的重心就是线段的中点。
2.平行四边形的重心：平行四边形的重心是它的两条对角线的交点。
3.三角形的重心：三角形的三条中线交于一点，这一点就是三角形的重心。 等边三角形重心是高或中线或角平分线。 （重心只有一个。）
（圆形、圆环的重心在它的圆心上。）
数学活动
依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 任意四边形的中点四边形都是平行四边形。 菱形的中点四边形是矩形。 矩形的中点四边形是菱形。
正方形的中点四边形是正方形。
对角线互相垂直的四边形的中点四边形是矩形。 对角线相等的四边形的中点四边形是菱形。
第二十章 数据的分析
20.1 数据的代表
20.1.1 平均数
（算术平均数：一般地，如果有n个数x1,x2,,xn,那么，x做这n个数的平均数，x读作“x ba（第一声）”。）
加权平均数：若n个数x1，x2，„，xn的权分别是w1，w
2
1n
(x1x2xn)叫
，„，w
n
，则
x1w1x2w2xnwn
w1w2wn
叫做这n个数的加权平均数。
数据的权能够反映数据的相对“重要程度”。 （其中w1,w2,,wn叫做权。）
统计中也常把下面的这种算术平均数看成加权平均数。
在求n个数的算术平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，„，xk出现fk次（这里f1f2fkn），那么这n个数的算术平均数（可以表示为）
x1f1x2f2xkfk
n
x
，也叫做x1，x2，„，xk这k个数的加权平均数，其中
） f1，f2，，fk分别叫做x1，x2，„，xk的权。
（如果n个数中，x1出现f1次，x2出现f2次，„，xk出现fk次（这里
f1f2fkn），那么，根据平均数的定义，这n个数的平均数可以表示为
x
x1f1x2f2xkfk
n
，这样求得的平均数x叫做加权平均数，其中f1,f2,,fk叫做
权。）
数据分组后，一个小组的组中值是指这个小组的两个端点的数的平均数。
20.1.2 中位数和众数
将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数称为这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数称为这组数据的中位数。
中位数是一个位置代表值，利用中位数分析数据可以获得一些信息，例如，在一组互不相等的数据中，小于和大于它们的中位数的数据各占一半。 一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数。
如果一组数据中有两个数据的频数一样，都是最大，那么这两个数据都是这组数据的众数。
当一组数据有较多的重复数据时，众数往往是人们所关心的一个量。
平均数、中位数和众数都可以作为一组数据的代表，它们各有自己的特点，能够从不同的角度提供信息。在实际应用中，需要分析具体问题的情况，选择适当的量来代表数据。
确定一个适当的月销售目标是一个关键问题，如果目标定得太高，多数营业员完不成任务，会使营业员失去信心；如果目标定得太低，不能发挥营业员的潜力。
用图表整理和描述样本数据，有助于我们分析数据解决问题。
归纳：平均数的计算要用到所有的数据，它能够充分利用数据提供的信息，因此在现实生活中较为常用，但它受极端值的影响较大。
当一组数据中某些数据多次重复出现时，众数往往是人们关心的一个量，众数不易受极端值的影响。
中位数只需要很少的计算，它也不易受极端值的影响。
极端值是指一组数据中与其余数据差异很大的数据。 （数据的代表：①中位数（中间水平）；②众数；③平均数（平均水平）。）
20.2 数据的波动
20.2.1 极差
一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差。 极差能够反映数据的变化范围，生活中我们经常用到极差。
极差是最简单的一种度量数据波动情况的量，但它受极端值的影响较大。 极差可以反映数据的波动范围
20.2.2 方差
（除极差外，统计中还常采用考察一组数据与它的平均数之间的差别的方法，来反映这组数据的波动情况。）
2
设有n个数据x1，x2，,xn，各数据与它们的平均数的差的平方分别是(x1x)，
22
(x2x)，„，(xnx)，我们用它们的平均数，即用
s
2
1
n
[(x1x)(x2x)(xnx)]
222
来衡量这组数据的波动大小，并把它叫做这组数据的方差，记作s2。
从上面计算方差的式子可以看出：当数据分布比较分散（即数据在平均数附近波动较大）时，各个数据与平均数的差的平方和较大，方差就较大；当数据分布比较集中时，各个数据与平均数的差的平方和较小，方差就较小。因此方差越大，数据的波动越大；方差越小，数据的波动越小。
用样本估计总体是统计的基本思想。正像用样本的平均数估计总体的平均数一样，考察总体方差时，如果所要考察的总体包含很多个体，或者考察本身带有破坏性，实际中常常用样本的方差来估计总体的方差。
（设有n（样本容量）个数据x1，x2，,xn，各数据与它们的平均数（样本平均数）的差的平方分别是(x1x)2，(x2x)2，„，(xnx)2，我们用它们的平均数，即用
s
2
1
n
[(x1x)(x2x)(xnx)]
222
来衡量这组数据的波动大小，（即这组数据偏离平均数的大小），并把它叫做这组数据的方差，记作s2。
S是标准差，是方差的算术平方根。
求方差的步骤：先平均，后求差，平方后，再平均。 a1，a2，„，an的平均数为x，方差为y
①a1±3，a2±3，„，an±3的平均数为x±3，方差为y； ②3a1，3a2，„，3an的平均数为3x，方差为9y（即32y）
③2a1－3，2a2―3，„，2an―3的平均数为2x－3，方差为4y（即2y））
2
20.2.3 课题学习 体质健康测试中的数据分析
一、收集数据
1. 确定样本
2. 确定抽取样本的方法 二、整理数据 三、描述数据 四、分析数据 五、撰写调查报告 六、交流
本文来源：https://www.wddqxz.cn/a86842cb514de518964bcf84b9d528ea81c72f8a.html
2022-10-13
