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圆锥曲线专题—内切圆问题解析版
3x2y211，1.已知椭圆C：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率为2，且经过点P，左、右焦2点分别为F1，F2．
(1)求椭圆C的方程；
32
(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为7，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．
解：(1)由c1
a＝2，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2， 将点P
31，2的坐标代入椭圆方程得c2＝1，
x2＋y2
故所求椭圆方程为43＝1．
(2)由(1)可知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1， 代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0， 显然判别式大于0恒成立，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0， 则有y6t－932
1＋y2＝4＋3t2，y1y2＝4＋3t2，r0
＝7， 所以S△AF12B＝S△AF1F2＋S△BF1F2＝2|F1F2|·|y1|F1F2|·
y1＋y2
－4yy12t2＋1
2
12＝4＋3t2
．
而S△AF1|AB|r11
2B＝20＋2|BF2|r0＋2|AF2|r0 ＝1
2r0(|AB|＋|BF2|＋|AF2|) ＝1
2r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|) ＝1
2r0·4a ＝1×8×3227
y|＝1
22
－
122＝7，
12t2＋11222所以2＝7，解得t＝1， 4＋3t因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2．
12.已知椭圆C的左，右焦点分别为F1，F2，椭圆的离心率为2，且椭圆经过点P(1，32)．
(1)求椭圆C的标准方程；
→＝λF→
(2)线段PQ是椭圆过点F2的弦，且PF22Q，求△PF1Q内切圆面积最大时实数λ的值．
c131解 (1)e＝a＝2，P(1，2)满足a2＋又a2＝b2＋c2，△a2＝4，b2＝3， x2y2
△椭圆标准方程为4＋3＝1. (2)显然直线PQ不与x轴重合，
当直线PQ与x轴垂直时，|PQ|＝3，|F1F2|＝2， S△PF1Q＝3；
当直线PQ不与x轴垂直时，设直线PQ：y＝k(x－1)，k≠0代入椭圆C的标准方程，
整理，得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0， －6k－9k2
Δ>0，y1＋y2＝，y·y＝.
3＋4k2123＋4k21
S△PF1Q＝2×|F1F2|×|y1－y2|＝12t－3
令t＝3＋4k，△t>3，k＝4，
2
2
2
＝2， t2＋1
322
b2＝1，
k2＋k43＋4k2
2，
△S△PF1Q＝3－3
11t＋3
2
4＋3，
11△0<t<3， △S△PF1Q△(0,3)，
△当直线PQ与x轴垂直时S△PF1Q最大，且最大面积为3. 设△PF1Q内切圆半径为r，
1
则S△PF1Q＝2(|PF1|＋|QF1|＋|PQ|)·r＝4r≤3.
即r3
max＝4，此时直线PQ与x轴垂直，△PF→2＝F→
2Q，△λ＝1.
PF1Q内切圆面积最大，△
本文来源：https://www.wddqxz.cn/a9d885d2f9b069dc5022aaea998fcc22bcd1438f.html
2022-05-24
