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估算技巧和运用
在我们的日常生活与工作学习中，有时要对很多情况做个大概的估计，比如说判断某人的身高或年龄，考试结束后估计一下成绩等等。同样，在处理数学问题时，我们也会遇到不必求出精确答案，或者说有时根本无法求解的情况，这时，只要我们根据所学的知识，估算出一个相对精确或符合要求的值就可以了。但即使是这样，仍不是一件很容易的事，所以我们应当学习一点估算的技巧，掌握一些估算运用的方法。这一课主要来讲一些估算技巧和运用方面的知识。
【例1】框算一下（不用笔算）：0.495×20.1＋号里填整数）
［分析］0.495×20.1≈0.5×20＝10
1×10.0l的结果在（ ）左右。
（括
2
1×10.01≈1×10＝5 22
10＋5＝15
［解］原式的结果在15左右。
点评：有时在要求很快得到算式的结果，或者检验计算结果是否正确时，我们经常采用省略尾数取近似值的方法来进行估算。
【例2】老师在黑板上写了13个自然数，让小明计算它们的平均数，（得数保留两位小数），小明算出的答案是12.43，老师说：“最后一位数字错了，其它数字都对。”正确的答案是什么？
［分析］根据老师说的话和小明算出的答数，可以估计出正确答案在12.40与12.49之间，从而进一步估计原来13个数的总和在161.2（12.40×13）与162.37（12.49×13）之间，由于原来13个数都是自然数，所以它们的总和应该是整数162。 ［解］正确的答案是162÷13≈12.46
点评：可以通过确定最小值和最大值之间的范围从而找到准确值。在估算时，往往要根据题意进行分析，推理，估计出大致的取值范围，以便进一步找出答案。
【例3】学校组织学生参加夏令营，先乘车，每个人都要有座位，这样需要每辆有60个座位的汽车4辆，而后乘船，需要定员为70人的船的至少3条，到达营地后分组活动，分的组数跟每组的人数恰好相等，这个学校参加夏令营的人有多少？
［分析］由“每辆有60个座位的汽车4辆”，可知，参加夏令营的人数在（60×3＋1）181～（60×4）240人之间；由“需要定员为70人的船至少3条”，可知，参加夏令营的人数在（70×2＋1）141～（70×3）210人之间，由于参加夏令营的人数前后不变，因此综合以上两个人数范围，夏令营的人数应在181～210人之间，又由“分的组数跟每组的人数恰
好相等”可知，参加夏令营的人数一定是个完全平方数，而181～210之间只有196是完全
222
平方数（13＝169，14＝196，15＝225）符合条件。
［解］答：这个学校参加夏令营的人有196人。
点评：解答的关键也是估计取值的范围，我们必须综合多种情况来估算出符合条件的范围。
【例4】求出1357902468÷8642097531的商精确到小数点后3位数的近似值。 ［分析］真正要计算出这个算式的商，再取近似值，就太复杂了。由于题目要求精确到小数点后三位数，所以只要能大概知道小数点后四位数的情况就可以了。
［解］被除数和除数各取前两位：14÷86≈0.1628＞原式＞13÷87≈0.1494，无法确定原式小数后三位的近似值必须缩小范围。
136÷864≈0.1574＞原式＞135÷865≈0.1561， 被除数和除数各取前三位：仍无法确定，再缩小范围。
被除数和除数各取前四位：1358÷8642≈0.1571＞原式＞1357÷8643≈0.1570，因此，所求商的近似值是0.157。
答：商精确到小数点后3位数的近似值是0.157。
点评：若被除数缩小，除数扩大，则商变小；若被除数扩大，除数缩小，则商变大。利用这一点，使用放缩法能估算出除法商的范围，有时还需要合理调整取值范围。 【例5】求11
10＋1210＋1310＋„„＋2110的整数部分。
100102103110
［分析］从条件可知，这11个带分数的和，可以先把每个分数拆成一个整数和一个真分数，然后把11个整数和11个分数分别相加后，再相加，因11＋12＋13„„＋21＝176，要求它的整数部分是多少，只要求出道了。
［解］先放大：因为
10＋10＋10＋„„＋10的整数部分就可以知
100102103110
10＜10，10＜10，„„10＜10，
10110010210010110010＋10＋10＋„„＋10 100102103110
所以
101010 + ++ 10
＜100×11＋1.1＜2 100100＝
10010
11个
100
再缩小：因为
10＞10，10＞10，„10＞10，„
10011010111010210010＋10＋10＋„„＋10 100102103110
所以
101010 + ++ 10
＞100×11＝1 110110＝
11010
11个
110
由此可知1＜
10＋10＋10＋„„＋10＜2
100102103110
从而
10＋10＋10＋„„＋10的整数部分是1
100102103110
所以原式的整数部分是177。
小结：估算是运用各种运算技巧所进行的快速近似计算，估算常用的方法和技巧是： （1）用省略尾数取近似值的方法进行估算。
（2）用“放缩法”来确定某个数或整个算式的取值范围进行估算。 ［练习］
（1）五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分，那么得分最低的选手至少得多少分？（每位选手的得分都是整数） （2）有一列数，第一个数是105，第二个数是85，从第三个数开始，每个数都是它前面两个数的平均数，那么第19个数的整数部分是几？
（3）8.01×1.24＋8.02×1.23＋8.03×1.22的整数部分是多少？ （4）一个四位数6□□6能被134整除，求这个四位数除以134的商。
11111 （5）求＋＋＋＋的整数部分。
3
4
5
6
7
1
（6）已知S＝
1111，求S的整数部分。
1980198119821991
（7）计算12345678910111213÷31211101987654321，它的小数点后前三位数字是多少？ （8）一本书的中间一张被撕掉了，余下的页数的和正好等于1000。 求（1）这本书有多少页？ （2）撕掉的是哪一张？
111，1中，选出若干个数，使得它们的和大于3，至少要
（9）在1，，„„，
2
3
99
100
选几个数？
（10）在方框里分别填入两个相邻的整数，使下面不等式成立： □＜（
10＋11＋12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19）×5＜□。 11121314151617181920
本文来源：https://www.wddqxz.cn/acc370244b35eefdc8d33311.html
2022-03-21
