2018-2019学年河南省郑州市高二(上)期末数学试卷(文科)

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2018-2019学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2

x0”的否定是( ) 1．（5分）命题“x0R，x0

2

x0 A．x0R，x0

B．xR，x2x D．xR，x2x

2

x0 C．x0R，x0

2．（5分）已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a11，a20193，则a1010的值为( ) A．9

B．3

C．3

D．3

3．（5分）在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

4．（5分）双曲线y23x29的渐近线方程为( ) A．x3y0

B．x3y0

C．3xy0

D．3xy0

5．（5分）已知ABC中，满足a3，b2，B30，则这样的三角形有( ) A．0个

B．1个

C．2个

D．无数个

6．（5分）已知两点F1(2,0)、F2(2,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为( )

x2

A．

4x2

C．

16y2

1 3y2

1 4x2y2

B．1

84x2y2

D．1

1612

1

7．（5分）抛物线yx2的焦点坐标是( )

8

A．(0,4) B．(0,2)

1C．(,0)

2

D．(

1

,0) 32

0xy2…



08．（5分）实数x，y满足xy…，则z3xy的最小值是( )

x„1

第1页（共17页）






A．4 B．2 C．0 D．4

9．（5分）已知函数f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的导函数f(x)的图象最有可能的

是下图中的( )

A． B．

C． D．

10．（5分）设p:f(x)则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件

48x

对任意x0恒成立，xmlnx在(0，1]内单调递减，q:m…2

3x4

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

2

y2

11．（5分）已知A、B分别是椭圆x1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，

4

则ABC面积的最大值为( ) A．21

B．12

C．22

D．22

12．（5分）对于函数f(x)

x

，下列说法正确的有( ) ex

1

①f(x)在x1处取得极大值；②f(x)有两个不同的零点；③f（4）f()f（3）；

e

④e22ex A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）在数列{an}中，a11，an1an

1

(nN*)，则an ．

n(n1)

第2页（共17页）






14．（5分）已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 ．

15．（5分）某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东75方向航行15海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 海里．

x2y2x2y216．（5分）设F1，F2分别为椭圆C1:221(a1b10)与双曲线C2:221(a20，

a1b1a2b2

b20)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF290，若双曲线C2的离心

率e2

32

，则椭圆C1的离心率e1的值为 ． 2

三、解答题：本大題共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

x2y2

0，若pq17．（10分）已知p：方程1表示双曲线，q:x[1，2]，x2a…

a2a2

为真，pq为假，求实数a的取值范围．

a2b2c2

c，18．（12分）在ABC中角A，且b，C的对边分别是a，B，

ab

（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）若ABC的面积为3，求边b的取值范围．



n2isAnisC

nisB

．

19．（12分）已知等差数列{bn}中，bn1og2(ann)，nN*，且a13，a311． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．

20．（12分）2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌．40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设．郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若已知市财政下拨一项专款100（百万元），分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数M（单位：百万元），M(x)

50x

，处理污染项目五年内带来的生态受益可表10x

示为投放资金x（单位：百万元）的函数N（单位：百万元），N(x)0.2x．

（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域；

第3页（共17页）






（2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？

21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y22px(p0)的焦点F在直线

yx1上．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点(1,0)作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于E，F两点，线段AB、EF的中点分别为M，N．求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标． 22．（12分）已知函数f(x)

12

x2alnx(a2)x，aR． 2

（Ⅰ）当a0时，求函数f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程； （Ⅱ）当a0时，讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2(0,)，且x1x2有恒成立？若存在求出a的取值范围；若不存在；说明理由．



f(x2)f(x1)1

(x2x1)a

x2x12

第4页（共17页）






2018-2019学年河南省郑州市高二（上）期末数学试卷（文

科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

2

x0”的否定是( ) 1．（5分）命题“x0R，x0

2

x0 A．x0R，x0

B．xR，x2x D．xR，x2x

2

x0 C．x0R，x0

2

x0”的否定为“【解答】解：命题“x0R，x0“xR，x2x”，

故选：D．

2．（5分）已知数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，若a11，a20193，则a1010的值为( ) A．9

B．3

C．3

D．3

【解答】解：数列{an}是等比数列，且每一项都是正数，a11，a20193， q0

， 2018

a1q32019a10101q10093．

故选：B．

3．（5分）在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C，则ABC的形状是( ) A．锐角三角形 C．钝角三角形

B．直角三角形 D．等腰直角三角形

【解答】解：在ABC中，若sin2Asin2Bsin2C， 则由正弦定理可得a2b2c2，即b2c2a2，

b2c2a2再由余弦定理可得，cosA0，

2bc

即有A为钝角，

则三角形ABC为钝角三角形．

第5页（共17页）






故选：C．

4．（5分）双曲线y23x29的渐近线方程为( ) A．x3y0

B．x3y0

2

2

C．3xy0 D．3xy0

y2x2【解答】解：由双曲线y3x9化为1，可得a29，b23，

93

a3，b3． 渐近线方程为y

33

x，即3xy0．

故选：C．

5．（5分）已知ABC中，满足a3，b2，B30，则这样的三角形有( ) A．0个

B．1个

C．2个

D．无数个

【解答】解：ABC中，a3，b2，B30， 由正弦定理得，

ab

， 

sinAsinB

32

， 

sinAsin30sinA

3

，A(0,)，且ab， 4

这样的三角形有2个．

故选：C．

6．（5分）已知两点F1(2,0)、F2(2,0)，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则动点P的轨迹方程为( )

x2

A．

4x2

C．

16y2

1 3y2

1 4x2y2

B．1

84x2y2

D．1

1612

【解答】解：F1(2,0)、F2(2,0)， |F1F2|4，

|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项， 2|F1F2||PF1||PF2|，

即|PF1||PF2|8，

第6页（共17页）






点P在以F1，F2为焦点的椭圆上，

2a8，a4 c2，b212，

x2y2

椭圆的方程是：1．

1612

故选：D．

1

7．（5分）抛物线yx2的焦点坐标是( )

8

A．(0,4) B．(0,2)

1C．(,0)

2

D．(

1

,0) 32

p1

【解答】解：抛物线yx2的标准方程为x28y，p4，2，开口向下，

28

故焦点坐标为(0,2)， 故选：B．

0xy2…



8．（5分）实数x，y满足xy…，则z3xy的最小值是( ) 0

x„1

A．4 B．2 C．0 D．4

【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由z3xy得y3xz

平移直线y3xz由图象可知当直线y3xz经过点B时，直线y3xz的截距最大， 此时z最小．

xy20x1由，解得，

xy0y1

即A(1,1)， 此时z314， 故选：A．

第7页（共17页）








9．（5分）已知函数f(x)的图象如图所示，那么函数f(x)的导函数f(x)的图象最有可能的

是下图中的( )

A． B．

C． D．

【解答】解：由原函数图象可知，原函数在(,2)上为增函数，在(2,0)上为减函数，在

(0,)上为增函数，

可得f(x)在(，2)(0，)上大于0恒成立，在(2,0)上小于0恒成立， 则函数f(x)的导函数f(x)的图象最有可能的是B． 故选：B．

10．（5分）设p:f(x)则p是q的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件



48x

对任意x0恒成立，xmlnx在(0，1]内单调递减，q:m…2

3x4

B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件

第8页（共17页）




【解答】解：f(x)由f(x)则f(x)

4m， 3x

4

xmlnx在(0，1]内单调递减， 3

4m

„0，在x(0，1]恒成立， 3x

4x

易得；m…在x(0，1]恒成立，

34即m…，

34

即：p:m…，

3

因为当x0时，

8x88

„2， x24x44

2xxx

8x

又m…2对任意x0恒成立，

x4

则m…2， 即q:m…2，

即p是q的必要不充分条件， 故选：B．

y211．（5分）已知A、B分别是椭圆x1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，

4

2

则ABC面积的最大值为( ) A．21

B．12

2

C．22 D．22

y2

【解答】解：A、B分别是椭圆x1的左顶点和上顶点，

4A(1,0)，B(0,2)，|AB|5，

直线AB的方程为：2xy20， C是该椭圆上的动点， 设C(cos,2sin)，

则点C到直线AB的距离：

|2cos2sin2|

5

|22sin(

5



4

)2|

d，

当sin(



4

)1时，dmax

222

5

，

第9页（共17页）






11222

21． ABC面积的最大值为(SABC)max|AB|dmax5

225

故选：B．

12．（5分）对于函数f(x)

x

，下列说法正确的有( ) ex

1

①f(x)在x1处取得极大值；②f(x)有两个不同的零点；③f（4）f()f（3）；

e

④e22ex A．1个

【解答】解：函数f(x)

B．2个

C．3个

D．4个

x1x，可得的导数为， f(x)f(x)exex

当x1时，f(x)0，f(x)递减；当x1时，f(x)0，f(x)递增． 1

可得f(x)在x1处取得极大值，且为最大值，故①正确；

e

f(x)只有零点0，故②错误；

由f(x)在x1递减，且43， 可得f（4）f()f（3），故③正确； 由f(x)在x1递减，且21， 可得



e





2

，即e22ex，故④错误． 2e

故选：B．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．（5分）在数列{an}中，a11，an1an【解答】解：a11，an1anan1an

11

(nN*)，则an 2 ．

n(n1)n

1

(nN*)，

n(n1)

111

，(nN*)， 

n(n1)nn1

1

则a2a11，

2a3a2

11， 23



anan1

11， n1n

等式两边同时相加得

第10页（共17页）






1

ana11，

n

故an2

1， n

1 n

故答案为：2

14．（5分）已知函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是 (，1)(2，) ． 【解答】解：

f(x)x33ax23(a2)x1f(x)3x26ax3(a2)

函数f(x)x33ax23(a2)x1既有极大值又有极小值 △(6a)2433(a2)0

a2或a1

故答案为：(，1)(2，)

15．（5分）某船在航行过程中开始看见灯塔在南偏东30方向，后来船沿南偏东75方向航行15海里后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是 56 海里． 【解答】解：以O为原点建立直角坐标系，如图所示； 设南偏东30方向为射线OM，

船沿南偏东75方向航行15海里后到达A点， 过A作x轴平行线，交y轴于D点，交OM于B点， 则DOA3045，cosDOAODOAcos75

15(62)

，

4

OD

， OA

又sinDOA

AD

， OA

15(62)

；

4

BD

又DOB30，tanDOB，

ODADOAsin75BDODtan30

15256

； 4

ABADBD56．

故答案为：56．

第11页（共17页）






xy2x2y2

16．（5分）设F1，F2分别为椭圆C1:221(a1b10)与双曲线C2:221(a20，

a1b1a2b2

2



b20)的公共焦点，它们在第一象限内交于点M，F1MF290，若双曲线C2的离心

率e2

323

，则椭圆C1的离心率e1的值为 ． 24

【解答】解：由椭圆与双曲线的定义，知|MF1||MF2|2a1，|MF1||MF2|2a2， 所以|MF1|a1a2，|MF2|a1a2． 因为F1MF290， 所以|MF1|2|MF2|24c2， 即(a1a2)2(a1a2)24c2，

2

2c2， 即a12a2

由e1即有

cc，e2， a1a2

112， e12e22

32

， 21163所以2，可得e1，

e194

因为e2

故答案为：

3

． 4

三、解答题：本大題共6小题，共计70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

x2y2

0，若pq17．（10分）已知p：方程1表示双曲线，q:x[1，2]，x2a…

a2a2

为真，pq为假，求实数a的取值范围．

x2y2

【解答】解：当p为真时，即方程1表示双曲线，则(a2)(a2)0，即

a2a2

第12页（共17页）






2a2，

0，即1a…当q为真时，即：x[1，2]，x2a…0，则(x2a)min…0，即a„1， 又pq为真，pq为假，则p、q一真一假，

2a2a剠2或a2

即或，解得：a„2，或1a2，

a1a„1

故答案为：(，2](1,2)．

a2b2c2

c，18．（12分）在ABC中角A，且b，C的对边分别是a，B，

ab

（Ⅰ）求角B；

（Ⅱ）若ABC的面积为3，求边b的取值范围．



n2isAnisC

nisB

．

a2b2c22sinAsinC

【解答】解：（Ⅰ）， 

absinB

2abcosC2ac

由正弦定理，余弦定理可得：，可得：2bcosCc2a， 

abb

2sinBcosCsinC2sinA，

2sinBcosCsinC2sin(BC)2sinBcosC2cosBsinC，可得：sinC2cosBsinC，sinC0，

cosB

1

． 2

B(0,)，

B



3

．

（Ⅱ）Bac4，



13

，ABC的面积为3acsinBac，

243

2acacac4，当且仅当ac时等号成立， 由余弦定理可得：b2a2c2ac…

b…2．可得边b的取值范围是：[2，)．

19．（12分）已知等差数列{bn}中，bn1og2(ann)，nN*，且a13，a311． （Ⅰ）求数列{bn}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{an}的通项公式及其前n项和Sn．

【解答】解：（Ⅰ）等差数列{bn}的公差设为d，且a13，bn1og2(ann)，a311， nN*，

第13页（共17页）






可得b1log2(a11)1，b3log2(a33)3， 可得d

b3b1

1， 2

则bnb1(n1)d1n1n； （Ⅱ）由bn1og2(ann)n， 可得ann2n，

则前n项和Sn(12n)(242n)

12(12n)

n(n1)

2121

(n2n)2n12． 2

20．（12分）2018年是中国改革开放40周年，改革开放40年来，从开启新时期到跨入新世纪，从站上新起点到进入新时代，我们党引领人民绘就了一幅波澜壮阔、气势恢宏的历史画卷，谱写了一曲感天动地、气壮山河的奋斗赞歌．40年来，我们始终坚持保护环境和节约资源，坚持推进生态文明建设．郑州市政府也越来越重视生态系统的重建和维护．若已知市财政下拨一项专款100（百万元），分别用于植绿护绿和处理污染两个生态维护项目，植绿护绿项目五年内带来的生态受益可表示为投放资金x（单位：百万元）的函数M（单位：百万元），M(x)

50x

，处理污染项目五年内带来的生态受益可表10x

示为投放资金x（单位：百万元）的函数N（单位：百万元），N(x)0.2x．

（1）设分配给植绿护绿项目的资金为x（百万元），则两个生态项目五年内带来的收益总和为y，写出y关于x的函数解析式和定义域；

（2）生态项目的投资开始利润薄弱，只有持之以恒，才能功在当代，利在千秋，试求出y的最大值，并求出此时对两个生态项目的投资分别为多少？ 【解答】解：（1）yM(x)N(x)（2）由（1）得到y„722

50x

0.2(100x)，x[0，100]， 10x

50(x10)50050010x

0.2(10x110)5022

10x10x5

50010x

722052

10x5

当且仅当

50010x

取等号，即x40时，取等号． 

10x5

所以y的最大值为52万元，分别投资给植绿护绿和处理污染两个生态维护项目40万和60

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万元．

21．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C:y22px(p0)的焦点F在直线

yx1上．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）过点(1,0)作互相垂直的两条直线l1，l2，l1与曲线C交于A，B两点，l2与曲线C交于E，F两点，线段AB、EF的中点分别为M，N．求证：直线MN过定点P，并求出定点P的坐标．

【解答】解：（Ⅰ）抛物线C:y22px(p0)的焦点F在直线yx1上， 可得F(1,0)，即有

p

1，即p2， 2

抛物线的方程为y24x；

（Ⅱ）证明：易知直线l1，l2的斜率存在且不为0， 设直线l1的斜率为k，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则直线l1:yk(x1)，M(

yy2x1x2

，1)，

22

由y24x和yk(x1)得k2x2(2k24)xk20， △(2k24)24k416k2160， x1x22M(1

44

，， yyk(xx2)12122kk

22，)， 2kk

1

由垂直的条件，可将k换为，

k

同理得N(12k2，2k)，

当k1或k1时，直线MN的方程为x3； 当k1，k1时，直线MN的斜率为直线MN的方程为y2k

k

， 1k2

k2

(x12k2)，即(k1)y(x3)k0， 2

1k

直线MN过定点，其坐标为(3,0)．

22．（12分）已知函数f(x)



12

x2alnx(a2)x，aR． 2

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（Ⅰ）当a0时，求函数f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程； （Ⅱ）当a0时，讨论函数f(x)的单调性；

（Ⅲ）是否存在实数a，对任意的x1，x2(0,)，且x1x2有恒成立？若存在求出a的取值范围；若不存在；说明理由． 【解答】解：（Ⅰ）函数f(x)的定义域为(0,)， 由f(x)

12

x2alnx(a2)x， 2

12

x2x， 2

f(x2)f(x1)1

(x2x1)a

x2x12

当a0时，f(x)

f(x)x2， f（1）

13

2，f（1）1， 22

3

1(x1)， 2

函数f(x)在点(1，f（1）)处的切线方程为y

即2x2y10； （Ⅱ）

2ax2(a2)x2a(x2)(xa)

． f(x)xa2

xxx

当0a2时，若x(0,a)，f(x)0，f(x)为增函数； 若x(a,2)，f(x)0，f(x)为减函数； 若x(2,)，f(x)0，f(x)为增函数．

0，f(x)为增函数； （2）当a2时，在(0,)上f(x)…

（3）当a2时，若x(0,2)，f(x)0，f(x)为增函数； 若x(2,a)，f(x)0，f(x)为减函数； 若x(a,)，f(x)0，f(x)为增函数．

（Ⅲ）假设存在实数a使得对任意的x1，x2(0,)，且x1x2， 有

f(x2)f(x1)1

(x2x1)a恒成立，

x2x12

不妨设0x1x2，

1111

即x222alnx2(a2)x2x122alnx1(a2)x1 x22x12ax2ax1， 2222

也就是alnx2x2alnx1x1 恒成立，

构造函数g(x)alnxx，则需函数g(x)在(0,)上为减函数．

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g(x)

aax1„0在(0,)上恒成立． xx

ax„0在(0,)上恒成立，即a„x在(0,)上恒成立． a„0．

故存在实数a(，对任意的x1，且x1x2有0]，x2(0,)，恒成立．

f(x2)f(x1)1

(x2x1)a

x2x12

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