数列求和(公式+例题)

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《数列求和》

【知识要点】

主要方法：



1、基本公式法：

（1）等差数列求和公式：Sna1annann1d

n1

22（2）等比数列求和公式：

q1na1,



Sna11qnaaq

1n,q1

1q1q

例1、S11n

11



12123123



n



例2、S123n23

aaa



n

an

（3）123....n

2

2

2

1

n(n1) 2



例3、已知等差数列an的首项为1，前10项的和为145，求

1

（4）12nnn12n1

6

21

（5）132333n3nn1

4

2、错位相消法：给Sna1a2

an各边同乘以一个适当的



a2a4a2n.

数或式，然后把所得的等式和原等式相减，对应项相互抵消，最后得出前n项和Sn.一般适应于数列anbn的前n项求和，其中an成等差数列，bn成等比数列。

3、分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列，然后利

用公式法求和。

4、拆项（裂项）求和：把一个数列的通项公式分成两项差的形式，

相加过程中消去中间项，只剩下有限项再求和. 常见的拆项公式有：

（1）若an是公差为d的等差数列，则



例4、求sin21sin22sin23sin288sin289的值

1111； anan1danan1



例5、求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

111； （2）

2n12n122n12n1（3）

1

； 1111



nn1n22nn1n1n2

（4）（5）

11



abab

11



nknk



ab；

n1n；





例6、数列{an}的前n项和Sn

12

n2n，数列{bn}满足2

（6）an

n1

SnSn1,n≥2

S1,

bn

an1。 an

5、倒序相加法：根据有些数列的特点，将其倒写后与原数列相加，

以达到求和的目的。

(1) 求证：数列{an}是等差数列； (2) 求数列{bn}中的最大项和最小项。

【典例精析】

1




【巩固提高】

1． 等差数列{an}中，a6 + a35 = 10，则S40 =_________。 2． 等比数列{an}中，a1 = 2 , a2a6 = 256，则S5 =_________。 3．数列：14，27，330，…，n3n1前n项和

16．求和：S=1－2＋3－4＋…＋(1) n1

n.

4． 数列1 ,1,1,…,1,…的前n项和

12123

123nSn = 。

5．数列13，24，35，…，n(n2)…的前n项和Sn =______ 6． 数列{an}中，a1 = 1，SS1n1

n2

an，则an =___________。 7． 数列 1，1，1，…，1…的前n项和Sn =______

132435n(n2)8． 数列{an}中，a

1n

, Sn = 9，则n =________。

nn1

9． 数列{an}中，a1 = 2 ,an1

1

Sn，则Sn =_________。 2

10．数列{a}中，an

n1 = 1 , a2 = 2 , an+2 – an = 1 + (–1)，则

S100 =__________。 11．数列

2

前n项之和为 ( )

4n21

A.

2n B. 2n1 C.2 D.

n

2n1

2n12n12n1

12．数列1×1，2×1，3×1，4×

1，…前n项和为

24816

( )

1n2n 1n2

n1

2n12n C.

12(n2+n-2)-111

2n 2(n+1)-2

n1



13．数列1的前n项之和为 ( ) n1n

A.n1+1 n1 C.

n D.n1

14．已知数列前n项和Sn

n=2-1，则此数列奇数项的前n项和为 ( ) A.

1n+1112n3 (2-1) B. 3 (2n+1

-2) C. 3(2-1) D.13

(22n-2) 15．已给数列{an}的通项如下，分别求其前n项和. (1)an

n=3-2n+1； (2)an=1；

2n2

8n6

(3)an=

13n

(n+2).





17．如果数列{an}中，an=1，求前n项之和Sn.

n(n2)



18．如果a2

2

2

n=1＋2＋…＋n，求数列{2n1a}的前n项之和.

n



19．求数例1，3a，5a2

，7a3

，…(2n－1)an-1

，…(a≠1)的前n项

和．

20．求和：S112

3111n226329

n2

3n





21．求数列2,4,623,,2n2n,前n项的和.

222

22．求数列11，21，31，41，…的前n项和

2

4816



23．求数列1，1122224，1，1，

…的前n项和32

6428

Sn.



24．已知an2n，求数列{an}的前n项和Sn3

n

。

本文来源：https://www.wddqxz.cn/afab70381db91a37f111f18583d049649a660e6c.html