椭圆、双曲线、抛物线的等角定理与一竞赛题

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椭圆、双曲线、抛物线的等角定理

一、

x2

y21，过N(t，0）的直线l交双曲线于A、B两点，问是否存在已知双曲线3

x轴上的一点p，使得斜率解：存在这样的一点p（

k

PA

kPB0？

3

，0）使得题设成立 t

方法一：下面通过作图验证

基本步骤：

1、在x轴上找到（3，0）点，在y轴上找到（0,1）点

先找到A（1，1），然后以O为圆心，OA长为半径画圆



1、连接BD，以O为圆心，BD长为半径画圆，与X轴的交点就是E（3，0）




2、分别度量B、E的纵、横坐标并把标签改成b、a，计算构造点及轨迹



3、在X轴上任取一点N（t，0），作过N的直线l



4、计算并绘制点P，度量角的度数


总结：N在x轴上运动时都有角APN和角NPB相等，这说明直线PA和直线PB的倾斜角是互补的，因而两直线的斜率之和为0，即

k

PA

kPB0.

方法二：假设存在P（m，0）使得等式成立；

设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的方程为xkyt 代入双曲线方程并整理得

(k23)y22ktyt230

2kt

y1y2

3k2



则

3t2

y1y2

3k2

y1y2y1(x2m)y2(x1m)

 kPAkPB

x1mx2m(x1m)(x2m)

又

y1(x2m)y2(x1m)

y1(ky2tm)y2(ky1tm) 2ky1y2(y1y2)(tm)

3t22kt

2k(tm)2

3k3k22k(3tm)

2

3k




因为k为任意实数，所以kPAkPB03tm0即m

3 t

3p(,0)使得等式成立 从而存在

t

二、如图3，已知抛物线

x24y及定点p(0，8)，A、B是抛物线上的两动点，且

APBP(0)．过 A、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M

(1)证明：点M的纵坐标为定值；

(2)是否存在定点Q，使得无论AB怎样运动，都有AQPBQP?证明你的结论． (2007，全国高中数学联赛河南省预赛) 解：（1）略 （2）方法一：

假设存在这样一点Q使得AQPBQP成立. 设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0) 因为APBP(

0)，所以A、P、B三点共线，且P在A、B之间

故可设直线AB的方程为

ykx8 代入抛物线方程并整理得

x24kx320

则 1 所以

xx24k

x1x232

y1y2k(x1x2)164k216

y1y2(kx18)(kx28)64

tanBQP

又AQPBQPtanAQP所以

kAQkPQ



1kAQkPQ



kPQkBQ1kPQkBQ




kAQkPQkAQkBQkPQkBQkPQkPQkBQkAQkPQkAQkBQkBQ

(kAQkBQ)2kPQ2kAQkBQkPQ(kAQkBQ)kPQ0

(kAQkBQ)(1kPQ)2kPQ(1kAQkBQ) ①

而 kAQ所以 kAQ

2

22

2

y1y0yy0y8

,kBQ2,kPQ0

x1x0x2x0x0

kBQ

2kx1x2(8y0kx0)(x1x2)2(8y0)x0



(x1x0)(x2x0)

2



kAQkBQ

y1y2y0(y1y2)y0

(x1x0)(x2x0)



从而①式可化为



4xk

0

2

4(8y0)k2x0(8y0)x0(y08)2



2(8y0)x04y0k4x0k(x0y016y096)





2



2

22







4x0(x0y064)k32x012y0x04(8y0)(8y0)2k64x0(8y0)0

由k的任意性可知

4x0(x0y064)0 32x0

2

22

2



22



22

12y0x04(8y0)(y08)20

2

64x0(8y0)

0

y08

解得

x00

y08

故存在点Q(0,8)使得无论A、B怎样运动，都有AQPBQP


方法二：

存在点Q(0,8)使得无论A、B怎样运动，都有AQPBQP 下面通过作图验证 基本步骤： 1、画出抛物线x

2

4y，并找到P（0，8),及满足题意的任意的A、B



2、由抛物线的等角性质我们知道在y轴上存在点Q满足题意，计算并作出点Q，度量角



由它说明这样的Q确实存在.

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