梅涅劳斯定理及塞瓦定理

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塞瓦定理 设O是△ABC任意一点，

AB、BO、CO分别交对边于D、E、F，则BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 〔Ⅰ〕此题可利用梅劳斯定理证明：

∵△ADC被直线BOE所截，

∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①



而由△ABD被直线COF所截，∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②①÷②:即得：BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

〔Ⅱ〕也可以利用面积关系证明

∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③

同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1

塞瓦定理：

设P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点，则AP、BQ、CR三线共点的充要条件是:

BPCQAR

1PCQARB

证：先证必要性：设AP、BQ、CR相交于点M，则：BPSABPSBMPSABMCQSBCMARSACM

同理：,PCSACPSCMPSACMQASABMRBSBCM

A

R

M

Q

A C

BPCQAR以上三式相乘，得：＝1

PCQARBBPCQARP ‘C1B 再证充分性：若1，设AP与BQ相交于M，且直线CM交AB于R，PCQARBBPCQAR拻ARAR

由塞瓦定理有：‘1，于是：‘＝因为R和R’都在线

PCQARBRBRB段AB上，所以R’必与R重合，故AP、BQ、CR相交于一点点M；

例1：证明：三角形的中线交于一点；

ACBACB

证明：记ABC的中线AA1，BB1，CC1，我们只须证明1111

C1BACB1A1

B

B1

C

A1

而显然有：AC1C1B,BA1AC1,CB1B1A即

AC1BA1CB11成立，ABC交于一点；C1BACBA11

A

A



C1

B1

C1

B1

C

. C >

B

A1

B

A1


.

证：作CKAB下证CK、BM、AN三线共点，且为P点，要证CK、BM、AN三线共点，

AMCNBK

依塞瓦定理即要证：1又MCCN

C MCNBAK

AMBKAMAL

即要证明：1AMLAKC

N AKNBAKAC

BKBCALBC

BNLBKC即要证1M

NBBLACBL

ALBCB

依三角形的角平分线定理可知：1A K L ACBL

CK、BM、AN三线共点，且为P点CPAB

例3.设AD是ABC的高，且D在BC边上，若P是AD上任一点，BP、CP分别与AC、AB交于E和F，则EDA＝FDA

证：过A作AD的垂线，与DE、DF的延长线分别交于M、N。欲证EDAFDA，

课外作业： 课后练习答案：

三条高、



一、选择题

1、如图：设一直线与△ABC的边AB、AC及BC延长线分别交于*、Y、Z，则

A *

Y

Z

AXBZAY

的关系为 〔 〕 •与

XBZCCYAXBZAYAXBZAYAXBZAYA、 B 、 C、 D、•••

XBZCCYXBZCCYXBZCCY

不能确定

2、如图：设*、Y、Z分别是△ABC的边BC、AC、AB上的点，A*、BY、CZ相交于点O，

B

C 第1题

A Z

O

Y

AZBXAY

的关系为 〔 〕 •与

ZBXCYCAZBXAYAZBXAYAZBXAYA、； B 、 ； C 、 ； D 、 •••

ZBXCYCZBXCYCZBXCYC

则

B

*

C

第2题

不能确定

A

3、如图，在△ABC中，F点分AC成1：2，G是BF的中点，AG的延长线交BC于E，则E分BC边所成的比

F

为 〔 〕

1121A、 B、 C、 D、

4253

G

B

E

第3题

C

4、如图，F、D、E分等边△ABC的三边AB、BC、CA均为1：2两局部，AD、BE、CF相交成△PQR的面积是

A

△ABC面积的 〔 〕

A、

1111 B、 C、 D、 10987

B

F

R

E Q 第4题

C

P D

. >

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