高考数学复习点拨 抛物线的参数方程及其应用

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抛物线的参数方程及其应用



一、抛物线的参数方程

抛物线的标准方程的形式有四种，故对应参数方程也有四种形式．下面仅介绍x22py(p0)及y22px(p0)两种情形．

x2pt，

（1）对于抛物线x22py(p0)，其参数方程为设抛物线x22py上动点P坐标2

y2pt，

为(2pt，显然kOP2pt)，O为抛物线的顶点，动弦OP的斜率．

2

2pt2

t，即t的几何意义为过抛物线顶点O的2pt

x2pt2，

（2）同理，以圩抛物线y2px(p0)，其参数方程为设抛物线x22py上动点

y2pt，

2

2pt)，O为抛物线的顶点，可得kOPP坐标为(2pt2，

2pt11

t，t的几何意义是过2pt2tkOP

抛物线的顶点O的动弦OP的斜率的倒数．



二、应用举例

例1 直线y2x与抛物线y22px(p0)相交于原点和A点，B为抛物线上一点，OB和OA垂直，且线段AB长为513，求P的值．

解析：设点A，B分别为(2ptA2，2ptA)，(2ptB2，2ptB)，则tApA，B的坐标分别为，p，(8p，4p)．

2

111

，tBkOA2． kOA2kOB

p5

∴AB8p(p4p)213p513．∴p2．

22

2



例2 已知A，B为抛物线x24y上两点，且OAOB，求线段AB中点的轨迹方程．

1

解析：设kOAt，OBOAkOB，

t44

4t2)，B，2． 据t的几何意义，可得A(4t，

tt141x4t2t，2tt

设线段中点P(x，y)，则

y14t242t21.

2t2t2


消去参数t得P点的轨迹方程为x22(y4)．

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