韩信点兵问题

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－韩信点兵问题

汉朝大将韩信善于用兵。据说韩信每当部队集合，他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7报数后，报告一下特各次的余数，便可知道出操公倍数和缺额。

这个问题及其解法，大世界数学史上颇负盛名，中外数学家都称之为“孙子定理”或“中国剩余定理”。 这类问题的解题依据是：

1、 如果被除数增加(或减少)除数的若干倍，除数不变，那么余数不变。例如： 20÷3=6„„2

(20-3×5)÷3=21„„2 (20+3×15)÷3=1„„2

2、 如果被除数扩大(缩小)若干倍，除数不变，那么余数也扩大(缩小)同样的倍数。例如： 20÷9=2„„2 (20×3)÷9=6„„6 (20÷2)÷9=1„„1

例1、 一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2。求适合这些条件的最小的数。 1、 求出能被5和7整除，而被3除余1的数，并把这个数乘以2。 70×2=140

2、 求出能被3和7整除，而被5除余1的数，并把这个数乘以3。 21×3=63

3、 求出能被5和3整除，而被7除余1的数，并把这个数乘以2。 15×2=30

4、 求得上面三个数的和 140+63+30=233

5、 求3、57的最小公倍数 ［3、5、7］=105

6、 如果和大于最小公倍数，要从和里减去最小公倍数的若干倍 233–105×2=23

例2、 一个数除以3余2，除以5余2，除以7余4，求适合这些条件的最小的数。 解法一：

70×2+21×2+15×4=242 ［3、5、7］=105 242–105×2=32 解法二、

35+21×2+15×4=137 ［3、5、7］=105 137–105=32

例3、 一个数除以5余3，除以6余4，除以7余1，求适合这些条件的最小的数。

1、 因为［6、7］=42，而42÷5余2，根据第二个依据，42×4÷5应余8(2×4)，实际余3，所以取42×4=168 2、 因为［7、5］=35，而35÷6余5，则取35×2=70 3、 ［5、6］=30,30÷7余2，则取30×4=120 4、 ［5、6、7、］=210 5、 168+70+120–210=148 例4、

我国古代算书上有一道韩信点兵的算题：卫兵一队列成五行纵队，末行一人；列成六行纵队末行五人；列


成七行纵队，末行四人；列成十一行纵队，末行十人。求兵数。 1、［6、7、11］=462 462÷5余2 462×3÷5余1 取462×3=1386 2、［7、11、5］=385 385÷6余5 385×5÷6余5 取385×5=1925 3、［11、5、6］=330 330÷7余1 220×4÷7余4 取330×4=1320 4、［5、6、7］=210 210÷11余1 210×10÷11余10 取210×10=2100 5、求四个数的和

1386+1925+1320+2100=6731 6、［5、6、7、11］=2310 7、6731–2310×2=2111

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