典型例题：离散型随机变量的期望与方差1

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离散型随机变量的期望与方差

近一、两年，在各省、市高考题、模拟题中，离散型随机变量的运用有明显加强之势，不得不引起我们足够的重视．归纳起来，我们常见的离散型随机变量分布有以下四类：

一、两点分布

随机变量X的分布列为

0

1

则EXpDXp(1p)．

例1 若随机事件A在一次试验中发生的概率为

p(0p1)，用随机变量

X表示A在一次试验中发生的次数，求

2DX1

的最大值． EX



2DX12(pp2)11

22p， 解析：EXpp

0p1，∴2p

1

≥22． p22

当2p1，即p

p

时取等号．因此，当p

22

时，2DX1

EX

取得最大值222．

二、二项分布

在n次独立重复实验中，设事件A发生的次数为X，在每次试验中事件A发生的概率为

kk

P(Xk)Cnp(1p)nkk01，，2，3，，nX~B(n，p)EXnp，DXnp(1p)

1

3

1


11161811141

P11X~B8，∴EX8DX81件次品

33933333273

的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品数，则事件Xk发

knk

CMCNM

生的概率为P(Xk)n

CN

，k01，，2，，m，其中mminM，n，

且n≤N，M≤N，n，M，NN． 称分布列

0

0n0CMCNM

nCN

1

1n1CMCNM

nCN

m

mnmCMCNM

nCN

为超几何分布列．如果随机变量X的分布列为超几何分布列，则称随机变量X服从超几何分布．

MNn1 此时EXMn，DXMn（不要求掌握）． 

NNNN1

例3 已知10个产品中，有3件次品，为了检验其质量，从中以随机的方式抽取5件，求在抽取的这5件产品中次品数的分布列与期望．

解析：设抽取次品数为X，显然X可取0，1，2，3四

5k

C3kC7

个数．抽样中恰有k(k01，，2，3)个次品的概率为P(Xk)5

C10

，可得

分布列如下：

0

1

2

3

∴EX

3

51.5． 10

四、一般分布

2

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