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高数重点知识总结
1、基本初等函数：反函数 (y=arctanx) ，对数函数 (y=lnx) ，幂函数 (y=x) ，指数函数 ( y 三角函数 (y=sinx) ，常数函数 (y=c) 2、分段函数不是初等函数。 3、无穷小：高阶 +低阶 =低阶
a x )，
例如： lim
x2
x x
1
lim
x
0
x
1
x
x 0
x
4、两个重要极限： (1) lim
sin x x
1
(2) lim 1 x x
x 0
e
lim 1
x
1
e
x 0
x
g( x)
x
x 0
经验公式：当 x
x0 , f (x)
1
0, g( x)
lim
3 x x
， lim 1
f ( x)
lim f (x) g( x)
ex x0
例如： lim 1 3x x
x 0
ex 0
e
3
5、可导必定连续，连续未必可导。例如：
y | x | 连续但不可导。
lim
x x0
6、导数的定义：
lim f ( x
x 0
x)
x
f ( x)
f '( x)
f ( x) f ( x0 )
x
x0
f ' x0
df g (x)
dx
7、复合函数求导：
f ' g (x) g'(x)
1
x , y'
1 2 x
x
例如： y
x
2 x
1
2 x
4 x2
x x
8、隐函数求导： (1)直接求导法；
(2)方程两边同时微分，再求出
dy/dx
x2 y2 1
例如： 解：法 (1), 左右两边同时求导 , 2x
2yy'
0
y' dy dx
x y x y
法 ( 2),左右两边同时微分 ,2xdx 2 ydy
9、由参数方程所确定的函数求导：若
y g(t ) ，则 dy dy / dt x h(t ) dx dx / dt
g '(t )
h'(t )
，其二阶导数：
d2 y dx2
d dy / dx
dx
d (dy / dx) d g' (t ) / h'(t )
dt dt dx / dt f ( x0
h' (t )
x)
f (x0 )
x
10、微分的近似计算：
f ' (x0 ) 例如：计算 sin 31
11、函数间断点的类型：
(1)第一类：可去间断点和跳跃间断点；例如：
y sin x （ x=0 是
x
函数可去间断点） ， y sgn(x) （ x=0 是函数的跳跃间断点）
(2)第二类：振荡间断点和无穷
间断点；例如： f ( x)
sin 1 （ x=0 是函数的振荡间断点） ， y
x
1 （ x=0 是函数的无穷间
x
断点）
12、渐近线： 水平渐近线：
y lim f ( x) c
x
铅直渐近线： 若，lim f ( x)
x a
，则 x a是铅直渐近线 .
斜渐近线： 设斜渐近线为 y
ax b,即求 a lim
f ( x)
x
,b
lim f (x) ax
x
x
x3
x2
x 1
例如：求函数 y
x2 1
的渐近线
13、驻点：令函数 y=f(x) ，若 f'(x0)=0 ，称 x0 ≥f(x0) ，称 x0 是 f(x) 的极小值点；否则，称 称极值点。
是驻点。
14、极值点： 令函数 y=f(x) ，给定 x0 的一个小邻域
u(x0, δ), 对于任意 x∈ u(x0, δ )，都有 f(x)
x0 是 f(x) 的极大值点。极小值点与极大值点统
15、拐点：连续曲线弧上的上凹弧与下凹弧的分界点，称为曲线弧的拐点。 16、拐点的判定定理：令函数 17、极值点的必要条件：令函数 18、改变单调性的点： 点，也可能是不可导点） 19、改变凹凸性的点：
y=f(x) ，若 f"(x0)=0 ，且 x0
；x>x0 时， f"(x)<0 或
x； x>x0 时， f"(x)>0 ，称点 (x0 ，f(x0)) 为 f(x) 的拐点。
y=f(x) ，在点 x0 处可导，且
x0 是极值点，则 f'(x0)=0 。
f ' ( x0 ) 0 ， f ' ( x0 ) 不存在，间断点（换句话说，极值点可能是驻
0
， f ' '( x0 ) 不存在（换句话说，拐点可能是二阶导数等于
f " ( x ) 0
零的点，也可能是二阶导数不存在的点）
20、可导函数 f(x) 的极值点必定是驻点，但函数的驻点不一定是极值点。 21、中值定理：
(1) 罗尔定理： f (x) 在 [a,b] 上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点 (2) 拉格朗日中值定理：
，使得 f '( ) 0
f ( x) 在 [a,b] 上连续， (a,b)内可导，则至少存在一点
，使得
f (b) f (a) (b a) f ' ( )
(3) 积 分 中 值 定 理 ： f (x) 在 区 间 [a,b]
b
上可积，至少存在一点
， 使 得
f ( x)dx (b
a
a) f ( )
22、常用的等价无穷小代换：
x ~ sin x ~ arcsinx ~ arctanx ~ tan x ~ ex 1 ~ 2( 1 x 1) ~ ln(1 x)
1 cosx ~ x2
2
1
3
tan x sin x ~ x, x sin x ~ x , tan x x ~ x
2 6 3
1
3
1
3
1
23、对数求导法：例如，
y
x ， 解：ln y
x
xln x
1
y' ln x 1
y'
xx ln x
1
y
24、洛必达法则：适用于“ ”型，“
0
”型，“0
”型等。当
0
x l
xx
0
x0 , f (x)
i m
0 / , g (x)
m
xx
0
0 / ， f '( x), g ' (x) 皆 存 在 ， 且 g'( x) 0 ， 则
f ( x)
l i
f ' ( x)
例如，lim
ex sin x 1 0
lim
ex cosx 0
2x
3
x
lim
ex sin x
2
5
1
g (x)
g' ( x)
x 0
x2
lim
x
0 x 0
x 1 2 2 x 3
5
0 x 0
lim
2
25、无穷大：高阶 +低阶 =高阶
例如，
x2 2x 3 2x
4
2x
26、不定积分的求法
(1)公式法
(2)第一类换元法（凑微分法）
(3)第二类换元法：哪里复杂换哪里，常用的换元：
1) 三角换元：
a 2 x2 ，可令
x asin t ； x2 a2 ，可令 x a tant ； x2 a2 ，可令 x a sect 2)当有理分式函数
x
中分母的阶较高时，常采用倒代换
1 t
27、分部积分法：
udv uv
vdu ，选取 u 的规则“反对幂指三” ，剩下的作
e
v。分部积
分出现循环形式的情况，例如：
x
3 xdx xdx
cos , sec
28、有理函数的积分：
例如：
3x 2 3 dx x(x 1)
1
2(x 1) 3 dx 2 1 2 dx x( x 1) x( x 1)
x
1 3 dx
x 1
x 1
2
其中，前部分
x( x 1)
2 dx 需要进行拆分，令
1
2
x 1 x x( x 1)
x 1 (x 1)
x( x 1)
x( x 1)
2
1 x
1 x 1
1
(x 1)2
本文来源：https://www.wddqxz.cn/c74db7aa6adc5022aaea998fcc22bcd126ff4280.html
2022-06-26
