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第1讲数的整除特征（一）
知识网络
数的整除性质主要有：
（1）若甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数能被丙数整除。
（2 ）若两个数能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差都能被这个自然数整除。 （3）几个数相乘，若其中有一个因数能被某一个数整除，那么它们的积也能被这个数整除。 （4 ）若一个数能被两个互质数中的每一个数整除，那么这个数也能被这两个互质数的积整除。 （5）若一个数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除。
（6 ）若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个。
（7） 个位上是0、2、4、6、8的数都能被2整除。
（9 ）若一个整数各位数字之和能被 3整除，则这个整数能被 3整除。 （10） 能被
若一个整数末尾两位数
4整除，则这个数能被 4整除。 8整除，则这个数能被 8整除。
（11） 若一个整数末尾三位数
9整除，则这个整数能被 9整除。 能被
（8） 个位上是0或者5的数都能被5整除。 重点•难点
数的整除概念、性质及整除特征为解决一些整除问题带了很大方便， 学好数的整除问题，就必须找到规律，牢记上面的整除性质，不可似是而非。
在实际问题中应用广泛。 要
学法指导
能被2和5, 4和25, 8和125整除的数的特征是分别看这个数的末一位、末两位、末三位。我 们可以综合推广成一条： 末n位数能被（或）整除的数，本身必能被（或）整除；反过，
末n位数不能被］'（或「"）整除的数，本身必不能被二（或丁）整除。例如，判断253200 371601 能否被16整除，因为 举一反三。
_
,所以只要看各数的末四位数能否被 16整除。学习这一讲知识要学会
），所以: b=2 b=4 b=6
经典例题
［例1］在568后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别3、4、5整除，且使这个数尽
被 可能小。
思路剖析
这个六位数分别被 3、4、5整除，故它应满足如下三个条件: （1） 各位数字和是3的奇数；
（2）
末两位数组成的两位数是 4的倍数；
（3 ）末位数为0或5。 按此条件很容易找到这个六位数。
解答
不妨设4、5整除，因为亠被4整除，所
补上三
以c不能是5而只能是0，且b只可能是2、4、6、8、0。
又因 …m，所以 3| ( 5+6+8+a+b+0
时, 3| (5+6+8+a+2 036、时, 3| (5+6+8+a+4 1 、4 7、 、 、 时, 3| (5+6+8+a+6 258b=8 时, 3| (5+6+8+a+8 036b=0 时, 3| (5+6+8+a+0 25
为了使六位数 ，咋上尽可能地小，则
a应取0、b应取2、 c应取0。
故能被3、4、5整除的最小六位数=」二应为568020b
［例2］四位数 亠一一能同时被2、3、5整除，问这个四位数是多少?
思路剖析
亠」-’能同时被2、3、5整除，所以满足以下三个条件：个位数字
B在0、2、4、6、8之
3的倍数，个位数 B在0、5之中。第一个和第三个条件都是针对个位数字的，
中，各位数字之和是
所以先根据第二个条件确定百位数字
解答
A。
要使能同时被2和5整除，个位数字只能是 B=0 ;又要使----能被3整除，所以各位数 字之和8+A+1+0=9+A 应能被3整除。可以看出，当 A取0、3、6、9时，各位数字之和 9+A可以被 3整除。所求的四位数是 8010、8310、8610 8910。
［例3］有两堆糖果，第一堆有 513块，第二堆有633块，哪一堆可以平均分给 余？
9个小朋友而无剩
思路剖析
本题实际上是判断 513与633能否被9整除。
解答
513各位上数字之和是 5+1+3=9，能被9整除；633各位上数字的和是 6+3+3=12，不能被9整除。 所以，第一堆可以平均分给
9个小朋友而无剩余，第二堆平均分给
9个小朋友还剩余3块。
［例4］有一个四位数 亠」-是9的倍数，求A的值。
思路剖析
四位数一是9的倍数，即能被9整除，根据能被9整除的数的特征，这个四位数 的各位数字之和一定是9的倍数。
解答 （1） （2） （3）
当和是9时，3+A+A+仁9，即2A=5，所以A=2 . 5 （舍）； 当和是 18 时，3+A+A+1=18，即 2A=14，A=7 ;
当和是 27 时，3+A+A+1=27，即 2A=23，可见 A=11 . 5>10 （舍）。
所以，A的值是7。
［例5］一位马虎的采购员买了 72只桶，洗衣时将购货发票洗烂了，只能依稀看到： 67. 9□元（□内的数字洗烂了），请你帮他算一算，他一共用了多少钱？
72只桶，共口
思路剖析
本文来源：https://www.wddqxz.cn/cb70b7a61937f111f18583d049649b6648d7096d.html
2022-04-30
