高中数学必修四向量知识点

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向量知识点总结

一、向量的概念

（1）向量：既有大小，又有方向的量； （2）数量：只有大小，没有方向的量；

（3）有向线段的三要素：起点、方向、长度； （4）零向量：长度为0的向量；

（5）单位向量：长度等于1个单位的向量； （6）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行； （7）相等向量：长度相等且方向相同的向量。 二、向量加法运算

⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点．

⑶三角形不等式：ababab． ⑷运算性质：

①交换律：abba；②结合律：abcabc； ③a00aa。

⑸坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2。 三、向量减法运算

⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量；

⑵坐标运算：设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2,y1y2， 设、两点的坐标分别为



C a

b





abCC

x1,y1

，

x2,y2

，则

x1x2,y1y2。

四、向量数乘运算

⑴实数与向量a的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a； ①

aa；

②当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当

0时，a0；

⑵运算律：①aa；②aaa；③abab； ⑶坐标运算：设ax,y，则ax,yx,y；



1




五、向量共线定理

向量aa0与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba；



bb0设ax1,y1，其中b0，则当且仅当x1y2x2y10时，向量a、bx2,y2，

共线；

六、平面向量基本定理



如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1、2，使a1e12e2．（不共线的向量e1、e2作为这一平面内所有向量的一组基底） 七、分点坐标公式

设点是线段12上的一点，1、2的坐标分别是x1,y1，x2,y2，当12时，点的坐标是

x1x2y1y2

,； 11

八、平面向量的数量积

⑴ababcosa0,b0,0180．零向量与任一向量的数量积为0；



abab；⑵性质：设a和b都是非零向量，则①abab0．②当a与b同向时，

当a与b反向时，abab；aaaa或aaa．③abab； ⑶运算律：①abba；②ababab；③abcacbc； ⑷坐标运算：设两个非零向量ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y2， 若ax,y，则axy，或a

2

2

2

2

2





x2y2；

设ax1,y1，bx2,y2，则abx1x2y1y20； 设a、b都是非零向量，ax1,y1，bx2,y2，

是a与b的夹角，则

cos



abab



x1x2y1y2xy

2

1

21

xy

2222

；

2

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