积分求圆球面积和体积

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积分法求圆球的表面积与体积 方法一:

如图圆O的方程为xyR, y

2

2

2

R2x2

将圆O绕X轴旋转一周,得到一个圆球体

从X负半轴到X正半轴将直径2R等分n份

(n)每份长为x

球体也同时被垂直分成n份薄片 每片的半径为r 每片分得弧长为dl 如图:当无限等分后

(1)弧dlCE (2)OCCE (3)EHx

易证OCXCEH

R2x2

CEOCOCEH

CE

EHCXCX

弧l

RRx

2

2

x

RRx

2

2

薄片的球面面积S(2r)l2Rx

22

x

S2Rx

球面面积



R

R

2Rdx2Rx

R

R

=4R

2

方法二:



如图圆O的方程为xyR, y

2

2

2

R2x2

将圆O绕X轴旋转一周,得到一个圆球体

沿X轴正方向到X轴负方向将圆心角等分n份

(n)每份为,(0,)

球体也同时被垂直分割成n份薄片

每片弧长相等对应圆心角为 每片对应的半径为rRsin

当0时


(1)BOC (2)弦CB弧CB (3)OBCB 薄片周长L2Rsin 薄片的(宽)hRsin()

薄片外围面积S2RsinRsin() 2Rsinsin() 2Rsin

22

S2R2sin2R2cos

0



0

4R2

方法三:

如图圆O的方程为xyR, y

2

2

2

R2x2

将圆O绕Y轴旋转一周,得到一个圆球体

沿Y轴负方向到Y轴正方向将圆心角等分n份(n)每份为,(



,) 22

球体也同时被水平分割成n份薄片

每片弧长相等对应圆心角为 每片对应的半径为rRcos

如图取oBOC这一份进行研究 当0时

(1)BOC (2)弦CB弧CB (3)OCCB 薄片周长L2Rcos 薄片的厚(高)hRsin()

薄片外围面积S2RcosRsin() 2Rcossin() 由极限:当x0时

2

sinx

1  当 x0时sinxx x

2

故 S2Rcossin() 2Rcos



2

2



2





S22Rcos2Rsin24R2

2

2

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