2021年上海春季高考数学试卷及答案

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2021届上海市普通高校春季招生统一文化考试

数学试卷

考生注意 :

1. 本场考试时间为120分钟. 试卷共4页, 满分150分, 答题纸共2页.

2. 作答前, 在答题纸正面填写姓名、准考证号, 反面填写姓名. 将核对后的条形码贴在 指定位置.

3. 所有作答必须涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域, 不得错位. 在试卷上作 答一律不得分.

4. 用2B铅笔作答选择题, 用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题.

一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 1. 已知等差数列an的首项为3, 公差为2, 则a10_______. 2. 已知z13i, 则 zi _______.

3. 已知圆柱的底面半径为1, 高为2, 则圆柱的侧面积为________. 4. 不等式

2x5

x2

1的解集为_________. 5. 直线x2与直线3y10的夹角为________.

6. 若方程组a1xb1yc1

a1b1a2

xb无解, 则 _________.

2yc2a2b27. 已知(1x)n的展开式中, 唯有x3的系数最大, 则(1x)n的系数和为_______.

8. 已知函数f(x)3x



a

3x

1

(a0)的最小值为5, 则a________. 9. 在无穷等比数列an中, xlim(

a1an)4, 则a2的取值范围是________.

10. 某人某天需要运动总时长大于等于60分钟, 现有五项运动可以选择, 如下表所示, 问有几种运动方式组合_________.

第1页 (共5页) A运动 B运动 C运动 D运动 E运动 7点—8点 8点—9点 9点—10点 10点—11点 11点—12点 30分钟

20分钟

40分钟

30分钟

30分钟

11. 已知椭圆x2

y2

b

21 (0b1)的左、右焦点为F1、F2, 以O为顶点, F2为焦点作抛物线交椭

圆与P, 且PFF1245, 则抛物线的准线方程是__________. 12. 已知0, 存在实数, 使得对任意nN, cos(n)3

2

, 则的最小值是________. 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. 下列函数中, 在定义域内存在反函数的是( )

A. f(x)x2 B. f(x)sinx C. f(x)2x D. f(x)1

14. 已知集合Ax|x1, xR, Bx|x2x20, xR

, 则下列关系式中正确的是( ).

A. AB B.

R

A

R

B C. AB D. ABR

15. 已知函数yf(x)的定义域为R, 下列是f(x)无最大值的充分条件是( )

A. f(x)为偶函数且关于点(1, 1)对称 B. f(x)为偶函数且关于直线x1对称 C. f(x)为奇函数且关于点(1, 1)对称 D. f(x)为奇函数且关于直线x1对称 16. 在ABC中, D为BC中点, E为AD中点, 则以下结论 : ① 存在ABC, 使得ABCE0;

② 存在三角形ABC, 使得CE//(CBCA); 它们的成立情况是( ) A. ①成立, ②成立 B. ①成立, ②不成立 C. ①不成立, ②成立 D. ①不成立, ②不成立 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17. 四棱锥PABCD, 底面为正方形ABCD, 边长为4, E为AB中点, PE平面ABCD.

(1) 若PAB为等边三角形, 求四棱锥PABCD的体积;

(2) 若CD的中点为F, PF与平面ABCD所成角为45, 求PC与AD所成角的大小.

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18. 已知A、B、C为ABC的三个内角, a、b、c是其三条边, a2, cosC

14

. (1) 若sinA2sinB, 求b、c; (2) 若cos(A



4

4)5

, 求c.



19. (1) 团队在O点西侧、东侧20千米处设有A、B两站点, 测量距离发现一点P满足 PA  PB =20 千米, 可知P在A、B为焦点的双曲线上, 以O点为原点, 东侧为x

轴正半轴, 北侧为y轴正半轴, 建立平面直角坐标系, P在北偏东60处, 求双曲线标 准方程和P点坐标.

(2) 团队又在南侧、北侧15千米处设有C、D两站点, 测量距离发现 QA  QB =30千米, QC QD =10千米. 求 OQ (精确到1米)和Q点位置(精确到1).

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20. 已知函数f(x)|xa|ax.

(1) 若a1, 求函数的定义域;

(2) 若a0, 若f(ax)a有2个不同实数根, 求a的取值范围;

(3) 是否存在实数a, 使得函数f(x)在定义域内具有单调性? 求出a的取值范围.

21. 已知数列an满足an0, 对任意n2, an和an1中存在一项使其为另一项与an1的等差中项.

(1) 已知a15, a23, a42, 求a3的所有可能取值;

(2) 已知a1a4a70, a2、a5、a8为正数. 求证 : a2、a5、a8成等比数列; (3) 已知数列中恰有3项为0, 即arasat0, 2rst, 且a11, a22. 求ar1as1at1的最大值.

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2021届上海市春季高考数学试卷

答案

一. 填空题 1. 21 2.

5 3. 4 4. (7, 2) 5.



6

6. 0 7. 66 8. 9 9. (4, 0)(0, 4) 10. 23 11. x12 12.

2 5

二. 选择题

13. C 14. D 15. C 16. B

二. 解答题 17. （1）V323PABCD

3; （2）arctan5

22或arccos3

18. （1）b1； c6 （2）c

530

2

19. （1）x2y21 100300

；p(152562, 2) （2） OQ 19米; Q点位置北偏东66.

20. （1）x(, 2][0, )；（2）a(0, 1

4

)；

（3）当a1

4

时, 函数f(x)在定义域R上连续, 且单调递减. 21. (1)

a31

(2) 证明略; 公比q

1 4

;

(3) a21r1as1at1的最大值为

64



第5页 (共5页) 第6页 (共5页)

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