2020年全国高中数学联赛试题 A卷

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2020年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。

1．在等比数列{an}中，a913，a131，则loga113的值为________．

2．在椭圆Γ中，A为长轴的一个端点，B为短轴的一个端点，F1,F2为两个焦点．若

|AB|

AF1AF2BF1BF20，则的值为________．

|F1F2|100

3．设a0，函数f(x)x在区间(0,a]上的最小值为m1，在区间[a,)上的最小

x

值为m2．若m1m22020，则a的值为________．

z2

4．设z为复数，若为实数（i为虚数单位），则|z3|的最小值为________．

zi

AA

5．在△ABC中，AB6，BC4，边AC上的中线长为10，则sin6cos6的值为

22

________．

6．正三棱锥PABC的所有棱长均为1，L,M,N分别为棱PA,PB,PC的中点，则该正三棱锥的外接球被平面LMN所截的截面面积为________． 7．设a,b0，满足：关于x的方程|x||xa|b恰有三个不同的实数解x1,x2,x3，且x1x2x3b，则ab的值为________．

8．现有10张卡片，每张卡片上写有1,2,3,4,5中两个不同的数，且任意两张卡片上的数不完全相同．将这10张卡片放入标号为1,2,3,4,5的五个盒子中，规定写有i,j的卡片只能放在i号或j号盒子中．一种放法称为“好的”，如果1号盒子中的卡片数明显多于其他每个盒子中的卡片数，则“好的”方法共有________种．

二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 9．（本题满分16分） 在△ABC中，sinA

2

．求cosB2cosC的取值范围． 2



10．（本题满分20分）

对正整数n及实数x(0≤xn)，定义



其中[x]表示不超过实数x的最大整数，{x}x[x]．若整数m,n≥2满足

12mn1

f(m,)f(m,)f(m,)123，

nnn

12mn1

求f(n,)f(n,)f(n,)的值．

mmm



11．（本题满分20分）

在平面直角坐标系中，点A,B,C在双曲线xy1上，满足△ABC为等腰直角三角

形．求△ABC面积的最小值．

f(n,x)(1{x}C[nx]{x}C[nx]1，


2020年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）

一、（本题满分40分）

如图，在等腰△ABC中，ABBC，I为内心，M为BI的中点，P为边AC上一点，满足AP3PC，PI延长线上一点H满足MHPH，Q为△ABC的外接圆上劣弧AB的中点．证明：BHQH．（答题时请将图画在答卷纸上）

A

Q

HM

I

PC

B





二、（本题满分40分）

给定正数n≥3，设a1,a2,

,a2n，b1,b2,

,b2n是4n个非负实数，满足

b2n0，

a1a2

a2nb1b2

且对任意i1,2,

求a1a2

． ,2n，有aiai2≥bibi1（这里a2n1a1，a2n2a2，b2n1b1）a2n的最小值．

三、（本题满分50分）

四、（本题满分50分）

给定凸20边形P．用P的17条在内部不相交的对角线将P分割成18个三角形，所得图形称为P的一个三角剖分图．对P的任意一个三角剖分图T，P的20条边以及添加的17条对角线均成为T的边．T的任意10条两两无公共端点的边的集合成为T的一个完美匹配．当T取遍P的所有三角剖分图时，求T的完美匹配个数的最大值．

设a11，a22，an2an1an2，n3,4,

．证明：对整数n≥5，an必有一个模

4余1的素因子．

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