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[课 题]§14．11 椭圆的生成及主要参数 [预备知识]
轨迹的概念
[重 点]
圆锥曲线的生成及定义 [难 点]
双曲线和抛物线定义的思想方法 焦点、离心率及渐近线的概念 [教学目标]
了解圆锥曲线的生成方法 掌握圆锥曲线的几何定义 了解圆锥曲线的各主要参数的含义
掌握圆锥曲线参数之间的换算关系，并能由参数判断圆锥曲线的形状 [教学过程]
自然天体和人造空间运动器在太空中运行的路径是一条曲线；抛 掷一个物体，物体在空中运动的路径也是一条曲线；桥梁、洞涵等建 筑物的剖面图是一条可见的曲线……这些曲线中有部分是圆，也有很 多是一种特殊类型的曲线――圆锥曲线．
圆锥曲线分为三大类――椭圆、双曲线和抛物线．我们在这一节 将学习它们的生成方法、主要参数以及大致形状． ⒈ 椭圆的生成及主要参数 (1)椭圆的生成
我们知道，到定点的距离是一个常数的动点的轨迹是一个圆，通过如图14-1(1)那样的实验，任何人都可以轻而易举地作出一个圆．现在假想在F处是两个重合的点F1，F2，连接动点和定点的线FP是一根双股线，它们的一端固定在动点P、另一端分别固定在F1，F2（如图14-1⑵）．现在把原来与F2重合的点F1向右拉开一些，拉紧PF1、PF2并移动点P，那么得到的是到两个定点距离之和为常数的动点的轨迹．这时的轨迹是一个“扁”的圆（如图14-2），我们把它叫做椭圆，即椭圆是平面上到两个定点的距离之和为常数的动点的轨迹．
F
P
F2
F1
P
F2
O F1
B b F2
O F1 a B1 2c 图14-3
P A
P
(2)椭圆的主要参数
为了具体描述椭圆的形状，分别标记图14-2上最右、最高、最左、
图14-1(1) 图14-2 图14-1(2)
最低点为A、B、A1、B1，标记F1，F2的中点为O (如图14-3)，记 A1
OA=a， OB=b， OF2=c．
依次把 A、B、A1、B1叫做顶点，AA1长2a叫做长轴、BB1长2b叫做短轴、F1F2（长2c）叫做焦距；把a叫做长半轴长，b叫做短半轴长，c叫做半焦距．把定点F1，F2叫做焦点，O叫做椭圆的中心．从生成方法可知，任何椭圆的焦距必定小于长轴，即a>c．
椭圆是有界曲线――被围在过顶点、边平行于顶点连线的定界矩形内，以AA1、BB1所在直线为对称轴，有一个对称中心．
据椭圆生成法则，有 BF1+BF2=AF1+AF2，
因为BF1=BF2，AF2=F2O+ OF1+F1A=2OF1+F1A，所以 2BF1=2（OF1+AF1）＝2a，BF1=a，
OF1=
BF1OB
2
2
，即c=a2b2． (14-1-1)
由此可见，动点到两个定点的距离之和等于椭圆的长轴；而F1、F2的距离2c确定了椭圆的焦距，从而也确定了椭圆“扁”的程度．事实上你可以继续做实验：把两点F1、F2并拢一些(c减小)，画出来的椭圆越接近圆；反之，若F1、F2分开一些(c增大)，则椭圆会更“扁”．因此人们用比值 e=
ca
=
1(
ba
)
2
，（0<e<1）， (14-1-2)
来更准确地反映椭圆“扁”的程度，把e直观地叫做离心率(原来重合的两个定点被拉开的距离与动点到两个定点距离之和的比)．当e越接近1(两点分得越开)，椭圆越“扁”；e越接近0(两点并得越拢)，椭圆越“圆”．特别地，当e=0，即c=0(a=b)时，两点并成一点了，椭圆回复成为圆．可见，圆可以作为椭圆的特例．
课内练习1
1． 求下列椭圆的离心率 e， 焦距2c，并说明哪个椭圆比较“扁”一些．
(1)到相距为6的两个定点的距离和为8的点的轨迹； (2)到相距为6的两个定点的距离和为10的点的轨迹． 2． 已知椭圆的离心率ｅ=
13
，长轴长=6，求短半轴的长．
3． 已知椭圆的长轴是10，短轴是8，求椭圆的焦距和离心率．
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2023-02-17
