函数周期性总结

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函数的周期性

1．周期函数的定义

对于函数f(x)，如果存在一个非零常数一个值时，都有．．．．T，使得当x取定义域内的每．．．．

f(xT)f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。 说明：（1）T必须是常数，且不为零；

（2）对周期函数来说f(xT)f(x)必须对定义域内的任意x都成立。

问题1 ①若常数T（≠0）为f (x)周期，问nT( n∈ N)为f (x)周期吗？为什么？ ②周期函数的周期有多少个？（是有限个还是无限个）？

2 常见函数的最小正周期

正弦函数 y=sin（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T= y=cos（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=

2π





2π



π

y=tan（ωx+φ）（w>0）最小正周期为T=



y=|sin（ωx+φ）|（w>0）最小正周期为T=



π



f(x)=C(C为常数)是周期函数吗？有最小正周期吗？ y=Asinw1 x+Bcosw2x 的最小正周期问题 结论：有的周期函数没有有最小正周期

3抽象函数的周期总结

1、f(xT)f(x) yf(x)的周期为T 2、f(xa)f(bx) (ab) yf(x)的周期为Tba 3、f(xa)f(x) yf(x)的周期为T2a

4、f(xa)

c

(C为常数) yf(x)的周期为T2a f(x)

1f(x)

yf(x)的周期为T2a

1f(x)

1

yf(x)的周期为T4a

f(x)1

5 f(xa)

7、 f(xa)

8、f(xa)

1f(x)

yf(x)的周期为T4a

1f(x)

9、f(x2a)f(xa)f(x) yf(x)的周期为T6a


10、f(xn2)f(xn)f(xn1)；（它是周期函数，一个周期为6）

11、yf(x)有两条对称轴xa和xb（ab) yf(x) 周期T2(ba) 12、yf(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) yf(x) 周期T2(ba) 13、yf(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)yf(x) 周期T4(ba) 14、奇函数yf(x)满足f(ax)f(ax) yf(x) 周期T4a。 15、偶函数yf(x)满足f(ax)f(ax) yf(x) 周期T2a。

练习：①f(x+a)=－f(x) ②f(x+a)=

11

③f(x+a)=－ f(x)f(x)

④f(x+a)=

f(x)1

⑤f(x+a)=f(x-a) T= ⑥ f(x)= f(x-a) -f(x-2a) T=6a

f(x)1

十一 对称性加奇偶性得到周期

f(x)为偶函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)则T=2a f(x)为奇函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x)则T=4a

eg：练1：（07天津7）在R上定义的函数f(x)是偶函数，且f(x)f(2x).若f(x)在区间[1,2]上是

减函数，则f(x)( )

A.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 B.在区间[2,1]上是增函数，在区间[3,4]上是减函数 C.在区间[2,1]D.在区间[2,1]

上是减函数，在区间[3,4]上是减函数，在区间[3,4]

上是增函数 上是增函数

2.（2019•汕头校级期末）定义在R上的奇函数f(x)满足f(1x)f(1x)，且当x[0，1]时，f(x)x(32x)，则f(

31

)( ) 21B．

2

A．1 C．

1 2

D．1

3．（2020•涞水县校级月考）设f(x)是定义在R上的函数．且满足f(x2)f(x1)f(x)，如果f（1）lg

3

，f（2）lg15，则f(2020) ． 2

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