微分方程公式总结

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第四章 微分方程

g(y)dyf(x)dx

1.可分离变量的微分方程 初值问题

yxx0y0

的解为



y

y0

g(y)dyf(x)dx

x0

x

2.一阶线性微分方程

dy

P(x)yQ(x) 的通解公式为dx

P(x)dxP(x)dx

ye(Q(x)edxC)

xdyx

P(x)yQ(x)xP(x)dxx0P(x)dxx0

(Q(x)edxy0) 3.初值问题 dx 的解为 yex0

yxx0y0

dyyydydu() uyux于是有ux 4.齐次型方程

xdxdxdxx

便得到ux

du

(u)这是一个可分离变量的微分方程。 dx

dudx



(u)ux

分离变量后积分

dyaxbyca1b1

其中 5.可化为齐次型的方程

dxa1xb1yc1ab

当cc10时方程是齐次型的，否则是非齐次型的。在非齐次型的情形下，可用如下的代换把它化为齐次型的。作代换

ahbkc0dYaXbY(ahbkc)

 再令 可定出h和k dXa1Xb1Y(a1hb1kc1)a1hb1kc106.伯努利方程

dy

P(x)yQ(x)y (0,1) dx

dzdy(1)y ，于是有 dxdx

作代换zy1 则


dz

(1)P(x)z(1)Q(x) ，这是一阶线性方程。 dx

7.可降阶的二阶微分方程 (1) y''f(x)

(2) y''f(x,y') 设y'p 那么y''

dp

p' 从而方程就化为p'f(x,p) dx

这是一个关于变量x，p的一阶微分方程。如果我们求出它的通解为

y'p(x,C1)，那么再通过积分，可得原方程的通解

y(x,C1)dxC2

dpdpdydpp(3) y''f(y,y') 设y'p y'' dxdydxdy

从而方程就化为p

dp

f(y,p) 这是一个关于变量y，p的一阶微分方dy

程。如果我们求出它的通解y'p(x,C1) 那么分离变量并两端积分，

dy

xC2 可得原方程的通解为(y,C1)

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