北京第四中学 数学课程 导数及其应用 全9讲 主讲李伟 附讲义 视频教程第02导数的几何意义

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导数的几何意义 北京四中 李伟



一、回顾导数的概念



二、导数的几何意义



点Pn沿着曲线无限接近点Q即Δx=xn

x00时,割线QPn趋近于

确定的位置，这个确定位置的直线QT称为曲线在点Q处的切线. 问题：割线QPn的斜率kn与切线QT的斜率k有什么关系？

注：

（1）当PQ时,割线PQ的斜率的极限,称为曲线在点Q处的切线的斜率 （2）曲线在某点处有没有切线要根据割线是否有极限位置来判断，如果

有切线，则唯一存在.

（3）曲线的切线与曲线的公共点可以有一个，也可以有多个,甚至可以

有无穷多个. （4）求曲线在某点Q(x0,y0)处的切线方程的基本步骤:

①求出切点Q的坐标;

②求出函数在点x0处的变化率f(xf(x0x)f(x0)

0)limx0

x

k得到曲线在点(x0,f(x0))的切线的斜率；

③利用直线的点斜式方程写出切线方程.



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例1.曲线的方程为yx2

1，那么求此曲线在点P（1，2）处的切线

的斜率，以及切线的方程. 解析：

例2.求曲线yx3经过点P(1,1)的切线方程.



小结：

求曲线的切线时，要注意区分不同的说法： 通常情况下

求曲线在某点处的切线时，该点即为切点；

求曲线经过某点的切线时，该点不一定是切点。

已知切点求切线方程的基本步骤: ①求出切点Q的坐标; ②求出函数在点x0处的导数f(x0)f(x0x)f(x0)

lim

x0

x

k得到曲线在点(x0,

f(x0))的切线的斜率；

③利用直线的点斜式方程写出切线方程.

过某点的切线的基本思路：



例3．设函数

f(x)x32ax2bxa,g(x)x23x2，



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其中xR，a、b为常数，已知曲线yf(x)与yg(x)在

点（2,0）处有相同的切线l.求a、b的值，并写出切线l的方程.



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