余弦定理的推导过程

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余弦定理的推导过程



余弦定理：在△ABC中，a,b,c分别表示三边的长度，且∠C为大角，则有

a²=b²+c²-2bc·cosA 推导过程： 1.给出△ABC：

将△ABC沿直线BC展开成一个平行四边形，即BCEF，由于△ABC和BCEF共有两条边BC和AC，且角A＝∠FBE，故可得知：∠BEC＝∠A＝∠FBE。

2.施加勾股定理：

设a＝BC，b＝BE，c＝EF，则有： a²＝b²＋c²（勾股定理） 3.使用正弦定理：

根据正弦定理：sinA＝BE/BC，故BE＝BC·sinA 4.把BE代入a²＝b²＋c²： a²＝BC²·sin²A＋EF² 5.把∠A代入：

a²＝BC²·(1-cos²A)＋EF² 6.联立BC＝a，EF＝c： a²＝a²·(1-cos²A)＋c² 7.解出cosA：


a²＝a²-a²·cos²A＋c² a²·cos²A＝a²-c² cos²A＝(a²-c²)/a² cosA＝±√((a²-c²)/a²) 8.代入上式：

a²＝b²＋c²-2bc·cosA

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