稠密集与疏朗集

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稠密集与疏朗集

蒋巧云;袁邢华

【摘 要】从定义、基数和测度等方面讨论了稠密集与疏朗集之间的关系,使得学生更好地了解和掌握这个内容. 【期刊名称】《高师理科学刊》 【年(卷),期】2016(036)009 【总页数】3页(P61-63)

【关键词】基数;测度;稠密集;疏朗集 【作 者】蒋巧云;袁邢华

【作者单位】南通大学理学院,江苏南通226019;南通大学理学院,江苏南通226019

【正文语种】中 文 【中图分类】O17;G642.0

实变函数是本科阶段数学专业的一门重要专业基础课，由于该课程具有概念性强、内容抽象、推理严谨、题目难做等特点．因此，成为数学系专业课程中公认的既难教又难学的一门课程．把握好教材教法是上好这门课的关键，本文就稠密集与疏朗集作出一些简单的探讨．

定义1[1] 设，若，则称为中的稠密集；若，则称为中的无处稠密集（疏朗集）；可数多个无处稠密集（疏朗集）的并集称为第一纲集，不是第一纲集的集合称为第二纲集．


定义2[2] 设，若对于任意，有，则称为中的稠密集；设，若，有，则称为中的无处稠密集（疏朗集）．

定理 疏朗集的余集一定是稠密集，但稠密集的余集不一定是疏朗集．

证明 设为中的疏朗集，则对于任意，有，即对于任意，，有，故的余集为中的稠密集．

但稠密集的余集不一定是疏朗集．如直线上无理数全体所成之集为中的稠密集，但它的余集即直线上有理数全体所成之集也为中的稠密集． 证毕． 稠密集与疏朗集的基数有如下3种情况：

（1）稠密集的基数大于疏朗集的基数．直线上有理数全体所成之集为稠密集而，直线上有限多个孤立点所成之集为疏朗集而（有限数），则；直线上无理数全体所成之集为稠密集而，直线上整数全体所成之集为疏朗集而，则．

（2）稠密集的基数等于疏朗集的基数．直线上有理数全体所成之集为稠密集而，直线上整数全体所成之集为疏朗集而，则；直线上无理数全体所成之集为稠密集而，区间上的康托三分集为疏朗集而，则．

（3）稠密集的基数小于疏朗集的基数．直线上有理数全体所成之集为稠密集而，区间上的康托三分集为疏朗集而，则．

（1）稠密集的测度可能为零也可能不为零．直线上有理数全体所成之集稠密集而，直线上无理数全体所成之集为稠密集而．

（2）疏朗集的测度可能为零也可能不为零．直线上整数全体所成之集为疏朗集，区间上的康托三分集为疏朗集．而．

仿照康托集的作法构造一个疏朗集合，并说明[3]． Step1 在的中央挖去长为的开区间．

Step2 在余下的闭区间和中分别挖去中央处的长为的开区间．


Step 在余下的个闭区间中分别挖去中央处的长为的开区间，记这个互不相交的开区间之并为．

将这一手续无限进行下去，得到一列开集，，，令，则为开集，且与康托集具有类似的性质： （1）为完备集； （2）为疏朗集；

（3）可测，且由于，故．

注 类似作法[4]可构造一个疏朗集合，使为正数，

实变函数课程由于其抽象性，对于任课教师教好这门课是个挑战，需要任课教师不断改进教学方法，总结和梳理知识点之间的关系，努力提高自身的素质来更好地完成这个教学过程[5]．

[1] 程其襄，张奠宙，魏国强，等．实变函数与泛函分析基础[M]．2版．北京：高等教育出版社，2003

[2] 周明强．实变函数论[M]．北京：北京大学出版社，2001

[3] 张喜堂．实变函数论的典型问题与方法[M]．武汉：华中师范大学出版社，2002

[4] 周明强．实变函数解题指南[M]．北京：北京大学出版社，2007

[5] 袁邢华，蒋巧云．《实变函数》课程教学的感受[J]．中国科学教育，2009（4）：26-27

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